Саморазвитие, Поиск книг Обсуждение прочитанных книг и статей, Консультации специалистов: Рэйки; Космоэнергетика; Биоэнергетика; Йога; Практическая Философия и Психология; Здоровое питание; В гостях у астролога; Осознанное существование; Фэн-Шуй; Вредные привычки Эзотерика

Рене Генон

Метафизические принципы

исчисления бесконечно малых

Перевод:

Алексей Дойлидов. Минск, 2013 г.

Переведено с:

Ren? Gu?non. The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus. / translated by Henry D. Fohr, Michael Allen; edited by Samuel D. Fohr. – Sophia Perennis – Hillsdale NY, 2004.

Оригинальное издание:

Ren? Gu?non. Les Principes du Calcul Infinit?simal. / ?ditions Gallimard, 1946.

Содержание:

Предисловие к английскому изданию.

Предисловие автора.

Глава 1. Бесконечное и неопределённое.

Глава 2. Противоречивость понятия "бесконечное число".

Глава 3. Неисчислимое множество.

Глава 4. Метрика континуального.

Глава 5. Проблемы, возникающие в связи с методом бесконечно малых.

Глава 6. "Прочно укоренённые фикции".

Глава 7. "Степени бесконечности".

Глава 8. "Бесконечное деление" или неопределённая делимость.

Глава 9. Неопределённо возрастающие и неопределённо убывающие.

Глава 10. Бесконечное и континуальное.

Глава 11. "Принцип континуальности".

Глава 12. Понятие предела.

Глава 13. Континуальность и предельный переход.

Глава 14. "Обращающиеся в нуль величины".

Глава 15. Нуль – это не число.

Глава 16. Нотация отрицательных чисел.

Глава 17. Представление равновесия сил.

Глава 18. Переменные и постоянные величины.

Глава 19. Последовательное дифференцирование.

Глава 20. Различные порядки неопределённости.

Глава 21. Аналитическая неисчерпаемость неопределённого.

Глава 22. Синтетический характер интегрирования.

Глава 23. Апории Зенона Элейского.

Глава 24. Истинное понимание "предельного перехода".

Заключение.

Предисловие к английскому изданию.

(с сокращениями)

Прошедшее столетие стало свидетелем распада прежних культурных ценностей, а также размытия отличительных особенностей мировых традиционных цивилизаций, что открыло дорогу философскому и моральному релятивизму и мультикультурализму, равно как и опасным реакциям фундаментализма. Французский метафизик Рене Генон (1886–1951) диагностировал эти тенденции уже в 1920-х годах и представил то, что, по его мнению, должно было служить единственным возможным средством примирения обоснованных, хотя, очевидно, противоречивых притязаний внешних религиозных ("экзотерических") форм с их фундаментальной ("эзотерической") сутью. В его работах присутствует глубокая критика современного мира, соединённая с призывом к интеллектуальной реформе, стремление к возрождению исследований в области метафизики, традиционных наук, символизма с особым упором на глубинное единство всех духовных традиций, а также призывы к практике духовной реализации. Несмотря на широкое влияние работ Генона, их переводы на английский язык до сих пор были единичными.

Неугасимый с юных лет интерес Генона к математике, как и у Платона, Паскаля, Лейбница и многих других выдающихся метафизиков, проходит красной нитью через его доктринальные исследования. Предлагаемая читателю одна из поздних книг Генона, опубликованная всего за пять лет до его смерти, полностью посвящена вопросам, касающимся природы пределов и бесконечного применительно к дифференциальному и интегральному исчислению, рассматриваемому и как математическая дисциплина, и как символическое выражение инициатического пути. Поэтому данная книга расширяет и дополняет круг вопросов геометрического символизма, рассмотренных Геноном в других работах, особенно в книгах "Символизм креста", "Множественность состояний сущего" и "Символы священной науки".

Согласно Генону, понятие "бесконечное число" является логически противоречивым. Бесконечность представляет собой метафизическое понятие более высокого уровня реальности, чем уровень количества – на котором всё выразимое может быть не бесконечным, а только неопределённым. Однако, хотя уровень количественности и является единственным уровнем, признаваемым современной наукой, выражающие её числа также обладают качествами, для которых количественный аспект является только их внешней оболочкой. Наша сегодняшняя увлечённость математикой приближений и вероятностей только скрывает от нас "качественную математику" древних, наиболее непосредственно дошедшую до нас через пифагорейско-платоническую традицию.

Рене Генон

Метафизические принципы

исчисления бесконечно малых

Предисловие автора.

Хотя может показаться, по крайней мере, на первый взгляд, что настоящее исследование имеет чисто "специализированный" характер, приступая к его написанию, мы руководствовались целями уточнения и более тщательного пояснения некоторых идей, к которым мы обращались в различных случаях использования нами математического символизма, и уже этой причины было бы достаточно для оправдания появления настоящего труда. Тем не менее мы желаем дополнительно заметить, что есть и другие, вторичные причины, в особенности касающиеся того, что можно назвать "историческим" аспектом вопроса; этот аспект, в самом деле, вовсе не лишён интереса с нашей точки зрения, поскольку все дискуссии, возникавшие по предмету природы и смысла теории исчисления бесконечно малых, являют собой поразительный пример того полного отсутствия какого-либо принципиального основания, который характеризует профанные науки, то есть те единственные науки, которые учёные современности знают и даже считают возможными. Мы уже неоднократно отмечали, что большинство из этих наук, даже в той степени, в которой они всё ещё соответствуют какой-то реальности, представляют собой не более чем примитивные девальвированные выжимки из некоторых традиционных наук древности: нижние области этих наук, утеряв контакт с областью принципов и утратив таким образом свой истинный исконный смысл, в конце концов претерпели самостоятельное развитие и стали рассматриваться как самодостаточное знание, хотя в действительности этот процесс означал, что их собственная значимость как знания таким образом сводилась почти к нулю. Это особенно очевидно в случае с физическими науками, но, как мы ранее поясняли в другой работе1, в этом отношении не является исключением и современная математика, если сравнить её с той наукой о числах и геометрией, которые были известны древним; когда мы говорим в данном случае о древних, под ними следует понимать в равной степени и представителей "классической" античности, как на то указывает малейшее знакомство с учениями пифагорейцев и платоников – или хотя бы должно указывать, если не принимать во внимание невероятное отсутствие понимания их учений теми, кто сегодня провозглашает себя их интерпретаторами. Если бы это непонимание не было настолько абсолютным, то как могло бы вообще поддерживаться, например, мнение об "эмпирическом" происхождении упомянутых наук? Ибо в реальности они выглядят напротив тем более далёкими от какого-либо "эмпиризма", чем глубже во времени исследователь погружается в исследование их корней, и это вообще равным образом справедливо для всех отраслей научного знания2.

1 см. Царство количества и знамения времени.

2 см. Различные работы (сборник) (1976), ч. 3, гл. 1. (ред.)

Математики эпохи модерна, а особенно те из них, которые являются нашими современниками, похоже, вообще находятся в неведении относительно того, чем в действительности является число; и, подчёркивая это, мы не намереваемся говорить о числе исключительно в аналогическом и символическом смысле, как в понимании пифагорейцев и каббалистов (что было бы слишком очевидным), но – и это может показаться более странным и почти парадоксальным – просто о числе в его обычном и строго количественном смысле. В самом деле, вся их наука сводится к вычислениям в самом узком смысле этого слова3, то есть к простому набору более-менее искусственных процедур, которые, коротко говоря, обладают ценностью только в отношении к обусловленным ими практическим применениям. В сущности, это равнозначно тому, что они заменяют число цифрой, записью числа*; при этом, смешение этих двух понятий сегодня настолько распространено, что его легко можно встретить повсеместно, даже в разговорных выражениях4. Цифра же, запись числа, строго говоря, является не более чем оболочкой числа; мы даже не говорим – его телом, так как, в некоторых отношениях, составляющей истинное тело числа с полным основанием может считаться скорее его геометрическая форма, как на то указывают теории древних о многоугольниках и многогранниках, если их рассматривать в свете числового символизма; и, вместе с тем, это находится в полном согласии с тем фактом, что любое "вотеление" обязательно подразумевает "пространственное представление". Тем не менее мы не имеем намерения утверждать, что цифры сами по себе являются чисто произвольными знаками, форма которых определена только прихотью одного или более лиц; очевидна необходимость существования как цифровых, так и буквенных символов – притом в некоторых языках эти типы символов не различаются5 – и как к первому, так и к другому разряду применимо представление об иероглифическом, то есть идеографическом или буквенном происхождении, и это справедливо по отношению ко всем письменным системам без исключения, каким бы затуманенным ни было это происхождение в некоторых случаях по причине более или менее недавних искажений и изменений.

3 Французское слово calcul имеет двойное значение: "исчисление" и "вычисления". (ред.)

* numeral – цифра, нумерал, запись числа, представление числа. (прим. перев.)

4 То же самое относится и к некоторым "псевдо-эзотерикам", которые знают столь мало о предмете разговора, что они подобным образом постоянно неуклонно смешивают эти два понятия в своих фантастических измышлениях, которыми они пытаются подменить традиционную науку о числах.

5 В качестве примеров можно привести иврит и греческий язык. В равной степени таким же языком был арабский до введения числовой записи индийского происхождения, которая после некоторой модификации перешла от арабов в Европу в Средние века; в этом отношении можно заметить, что слово "цифра" [фр. chiffre] это не что иное, как арабское "шифр", хотя это слово в действительности является всего лишь обозначением нуля. С другой стороны, на иврите "сафар" означает "считать" или "перечислять" и в то же время "писать", откуда образуются слова "сефер" – "писание" или "книга" (по-арабски "сифр", что обозначает, в частности, священную книгу), и "сефар" – "нумерация" или "счёт"; от последнего слова происходит также термин "Сефирот" в Каббале, обозначающий основные "цифры", уподобляемые божественным атрибутам.

Что является несомненным, так это то, что в своей нотации* математики употребляют символы, значение которых они уже не понимают и которые представляют собой что-то вроде рудиментов забытых традиций; и, что ещё более вызывает опасения, они не только не задаются вопросом о возможном значении этих символов, но и, похоже, не желают, чтобы эти символы вообще имели какой-либо смысл. В самом деле, они всё больше и больше склоняются к тому, чтобы считать любого рода нотацию некой простой "условностью", под которой они понимают нечто, изложенное абсолютно произвольным образом, – но это абсолютно невозможно, так как никто никогда не создаёт любого рода систему условностей или договорённостей без определённых причин для её создания и для создания именно такой системы, а не иной; только для тех, кто игнорирует эту причину, система условностей может казаться произвольной, так же как только для тех, кто игнорирует причину события, оно может казаться "случайным". Именно это происходит в данном случае, и в этом можно усмотреть одно из крайних последствий отсутствия принципиальных оснований, что даже может привести науку (или нечто, обозначаемое этим именем – ибо в настоящее время она более не заслуживает этого имени в любом отношении) к потере всякого характера достоверности. Более того, благодаря самому представлению о науке в настоящее время как о чём-то исключительно количественном** этот "конвенционализм" постепенно распространился из математики на относительно молодые теории физических наук, которые таким образом всё более отдаляются от реальности, которую они призваны объяснять; мы достаточно говорили об этом в другой работе***, чтобы воздержаться от дальнейших замечаний по этому поводу, тем более что сейчас мы намерены детально заняться исключительно математикой. В этом отношении мы добавим только, что как только упускается из виду смысл любой нотации, становится крайне вероятным переход от её легитимного и корректного использования к использованию, являющемуся нелегитимным и, фактически, не соответствующему ничему вообще, а порой даже вовсе нелогичному. Это может показаться весьма удивительным в случае такой науки как математика, которая по своей природе имеет особо тесные связи с логикой, однако всё же является печальной истиной то, что в математических категориях, в том виде, в каком они обыкновенно рассматриваются сегодня, можно обнаружить многочисленные нелогичности.

* notation – нотация, запись, система записи, представление чисел. (прим. перев.)

** Очевидно, под "представлением о науке как о чём-то исключительно количественном" (на что неоднократно обращается внимание в его работах) Генон имеет в виду тенденцию науки модерна к "математизации" наук, прежде всего, физики, отмечаемую исследователями в связи с проблематикой дискретного и континуального (см. прим. к гл. 16). (прим. перев.)

*** Рассмотрению упомянутой "революции количества" в науке модерна полностью посвящена книга Генона "Царство количества и знамения времени". (прим. перев.)

Одним из наиболее примечательных примеров этих несовместимых с логикой категорий является тот, который следует рассмотреть в первую очередь (хотя, конечно, он является не единственным из таких примеров, с которыми мы столкнёмся по ходу нашего изложения) – это категория так называемого математического или количественного бесконечного, которая является источником почти всех проблем, которые могут возникать в связи с исчислением бесконечно малых или, точнее сказать, в связи с методом бесконечно малых, ибо в данном случае мы имеем дело с теорией, которая (независимо от мнений "конвенциалистов") выходит за пределы простых "вычислений" в обыкновенном смысле этого слова; и эта категория является источником всех проблем без исключения, кроме разве что тех, которые происходят от ошибочного или неполного представления о понятии "предела", которое должно считаться ключевым, если методу бесконечно малых желают придать необходимую строгость и рассматривать его как нечто большее, нежели просто метод приближений. Кроме того, как мы увидим, необходимо проводить различие между случаями, в которых это так называемое бесконечное является просто полнейшим абсурдом, то есть противоречивым самим по себе понятием – как понятие "бесконечного числа", и случаями, в которых оно только применяется ненадлежащим образом в смысле неопределённого; но не стоит по этой причине думать, что смешение понятий бесконечного и неопределённого может быть сведено к проблеме слов, так как в действительности оно находится в области обозначаемых этими словами идей. Что примечательно, это смешение (факт которого, будь он однажды прояснён, смог бы пресечь столь многие дискуссии) обнаруживается в писаниях самого Лейбница, который вообще считается изобретателем исчисления бесконечно малых, хотя мы предпочли бы назвать Лейбница "автором его формулировок", ибо его метод имеет отношение к определённым реальностям, которые как таковые располагают существованием, независимым от тех, кто их осмысляет и выражает, более или менее корректно; реальности математического порядка, как и все другие реальности, могут быть только открыты, а не изобретены – в то время как наоборот случаем чистейшего "изобретения" является (что чрезвычайно часто случается в этой области) самопотакание в увлечённости "игрой" нотации, приводящей в область чистейшей фантазии. Тем не менее будет несомненно нелегко втолковать некоторым математикам эту разницу, поскольку они охотно воображают, что вся их наука является и должна быть не более чем "продуктом человеческого ума", что (если допустить, что мы могли бы разделять их точку зрения) означало бы низведение этой науки до абсолютно несерьёзного уровня. Как бы то ни было, но Лейбниц так и не смог чётко изъяснить принципы своего исчисления, и это указывает на то, что в этом исчислении было нечто, превосходившее мышление Лейбница, нечто, будто бы навязанное ему без его сознательного участия; если бы он принял это во внимание, он, по всей вероятности, никогда бы не вступал в какие бы то ни было споры о "первенстве" с Ньютоном. Кроме того, такого рода споры всегда совершенно напрасны, ибо идеи, в той степени, в которой они истинны, не являются собственностью какого-либо лица, что бы ни утверждал современный "индивидуализм"; единственная категория, которая с полным правом может быть приписана на правах собственности отдельному человеку – это ошибка. Мы не будем более распространяться по этому вопросу, что могло бы увести нас достаточно далеко от предмета нашего исследования, хотя в некоторых отношениях, пожалуй, было бы небесполезно прояснить, что роль лиц, именуемых "великими", является зачастую по большей части ролью, подразумевающей "восприятие" или "получение", хотя, как правило, именно они сами первыми впадают в заблуждение относительно собственной "оригинальности".

В настоящее время нас непосредственно занимает следующее: если мы отмечаем изъяны такого рода у Лейбница – изъяны тем более серьёзные, что они имеют отношение прежде всего к области принципов – то что может быть сказано об изъянах, обнаруживаемых у других современных философов и математиков, для которых Лейбниц является несомненным высочайшим авторитетом? Этим своим авторитетом Лейбниц обязан, с одной стороны, изысканиям, проведённым им по схоластическим доктринам Средних веков (хотя он не всегда полностью понимал их), а с другой стороны, некоторой эзотерической информации преимущественно розенкрейцеровского происхождения или влияния6, информации, очевидно, весьма неполной и даже фрагментарной, которую он к тому же иногда применял весьма неудачно, как мы увидим далее на некоторых примерах. Именно к этим двум "источникам" (говоря языком историков) можно определённо отнести почти всё, что является подлинно значимым в его теориях. И именно это также позволило ему, хотя и не вполне, дать отповедь картезианству, которое в области философии и науки представляло собой весь набор тенденций и концепций, наиболее непосредственно определивших эпоху модерна. Этих кратких замечаний достаточно, чтобы в нескольких словах обрисовать сущность личности Лейбница, и тот, кто стремится понять его, не должен выпускать из виду этой общей информации, которую мы по этой причине посчитали нужным изложить в самом начале нашей работы. Но следует оставить эти предварительные соображения и перейти к рассмотрению собственно вопросов, проливающих свет на истинный смысл теории исчисления бесконечно малых.

6 Неоспоримый признак такого влияния обнаруживается в герметической фигуре, помещённой Лейбницем в заглавии его трактата "De Arte Combinatoria": это изображение Rota Mundi, в котором в центре двойного креста из стихий (огонь, вода, воздух и земля) и качеств (горячее, холодное, сухое и влажное) находится символ пятого элемента в виде розы с пятью лепестками (соответствующий эфиру, понимаемому как самостоятельный элемент и как принцип четырёх стихий); естественно, эта "визитная карточка" была обойдена вниманием всех без исключения академических комментаторов.

Глава 1.

Бесконечное и неопределённое.

Предлагая изложение в манере, которая должна быть обратной манере профанной науки и согласной с неизменной перспективой всех традиционных наук, мы должны прежде всего выдвинуть принцип, который позволит нам практически сразу разрешить проблемы, возникающие в связи с методом бесконечно малых, не сбиваясь с пути в сторону опасных своим нескончаемым характером дискуссий, что происходит с некоторыми современными философами и математиками, которые именно в силу игнорирования ими этого принципа так и не смогли дать удовлетворительное и окончательное решение этих проблем. Этим принципом является сама идея Бесконечного, понимаемая в её единственном истинном смысле, который является чисто метафизическим смыслом, и по этому поводу нам следует только вкратце упомянуть то, что мы уже подробно излагали в другой работе1: Бесконечным является собственно то, что не имеет границ, ибо "конечное" очевидно синонимично "ограниченному"; таким образом, невозможно корректно применить этот термин к чему-либо иному кроме того, что не имеет абсолютно никаких границ, а это есть универсальное Всё, которое включает в себя все возможности и, следовательно, не может быть ограничено чем-либо каким бы то ни было образом; понимаемое таким образом Бесконечное метафизически и логически необходимо, так как оно не только не подразумевает какого-либо противоречия, не заключая в себе чего-либо отрицательного, но наоборот как раз его отрицание было бы противоречивым. Кроме того, очевидно, что может быть только одно Бесконечное, так как два предположительно различных бесконечных ограничивали бы и поэтому неминуемо исключали бы друг друга; следовательно, каждый раз, когда термин "бесконечное" употребляется в любом смысле, отличном от только что упомянутого, можно быть априори уверенным, что это употребление с необходимостью является неправильным, так как оно равнозначно, коротко говоря, либо игнорированию метафизического Бесконечного вообще либо предположению о наличии другого Бесконечного наряду с первым.

1 Множественность состояний сущего, гл. 1.

Верно, что схоласты признавали наличие так называемого ими infinitum secundum quid (бесконечное в определённом отношении), и что они тщательно отличали его от infinitum absolutum (абсолютного бесконечного), под которым понимали исключительно метафизическое бесконечное; но здесь можно усмотреть только несовершенство их терминологии, ибо, хотя это различие позволяло им избежать противоречия множественности бесконечных, понимаемых в собственном смысле, двойное использование слова infinitum тем не менее несло определённый риск порождения множественных недоразумений, и, кроме того, одно из этих двух значений становилось в таком случае полностью неправомерным, так как сказать, что нечто является бесконечным только в определённом отношении – а это точное значение выражения infinitum secundum quid – значит сказать, что в реальности оно не является бесконечным вообще2. В самом деле, на основании того что вещь не ограничена в определённом смысле или в определённом отношении, нельзя обоснованно заключать, что она не ограничена вообще никак (в таком случае она с необходимостью была бы истинно бесконечной); она не только одновременно может быть ограничена в других отношениях, но мы даже можем сказать, что это с необходимостью так, ввиду того что это обусловленная, определённая* вещь, которая, ввиду самой своей обусловленности, не включает в себя все возможности, а это равнозначно утверждению, что она ограничена тем, что находится вне её; если же, напротив, универсальное Всё понимается как бесконечное, то это так именно по той причине, что вне его ничего нет3. Поэтому любая обусловленность, определённость, какой бы широкой её ни предполагать и как бы широко ни трактовать сам этот термин, с необходимостью исключает истинное понятие бесконечного4; любая обусловленность, что бы она из себя ни представляла, всегда представляет собой ограничение, поскольку её существенным свойством является установление определённой области возможностей, отличной от всех остальных и, таким образом, исключение всех остальных. Поэтому поистине "бессмыслицей" являются попытки применить идею бесконечного к той или иной обусловленности, как, например, в случае, рассматриваемом нами в данном исследовании – случае количества или тех или иных его модусов. Сама идея "обусловленного (или определённого) бесконечного" выглядит для нас слишком явно противоречивой, чтобы далее задерживаться на её рассмотрении, хотя это противоречие зачастую ускользало от профанной мысли учёных модерна; и даже те, которых можно назвать "полупрофанами"5, как Лейбниц, были неспособны чётко осознать его. В целях ещё большего обнаружения упомянутого противоречия мы могли бы выразиться по-иному (но, в принципе, равнозначным образом), что является очевидным абсурдом намерение определить Бесконечное, поскольку любое определение является, в сущности, ничем иным, как выражением некоторой обусловленности или ограничения, и сами слова достаточно ясно указывают на то, что являющееся предметом определения может быть только предельным или ограниченным**. Намерение заключить Бесконечное в какую-либо формулировку или, если угодно, облачить его в какую угодно форму является сознательной или бессознательной попыткой свести бесконечное Всё к одной из его мельчайших частей, а это, вне всяких сомнений, наиболее очевидное из всех проявлений невозможности.

2 В достаточно схожем смысле Спиноза позже употреблял выражение "бесконечное в своём роде", которое, естественно, даёт повод тем же возражениям.

* determined – обусловленный, определённый, установленный; (далее, говоря о величинах, переводим determined как "находимая" или "измеримая"). (прим. перев.)

3 Можно добавить, что оно оставляет вне себя только невозможное, которое, представляя собой абсолютное ничто, не может ограничивать его никоим образом.

4 Это равным образом справедливо для определённостей универсального, а не просто общего порядка, включая само понятие Бытия, которое является первой из всех определённостей; но, само собой разумеется, это соображение не влияет на рассмотрение вопросов чисто космологического порядка, которыми мы занимаемся в настоящем исследовании.

5 Предупреждая любые возражения по поводу употребления нами выражения "полупрофан", скажем, что оно в весьма полной мере оправдано разницей, существующей между действенной инициацией и исключительно виртуальной инициацией, которую мы поясним в другой работе. (см. Заметки об инициации – ред.)

** Генон обращает внимание на семантику однокоренных слов, которые в латыни, французском, английском и русском образуются по схожим схемам:

finite (конечный, предельный) – de-finition (о-пределение) – in-finite (бес-конечный, бес-предельный) – in-finity (бес-конечность, бес-предельность);

terminal (предельный, граничный) – de-termined (о-пределённый, об-условленный) – de-termination (о-пределение, об-условленность);

limit (граница, предел) – limited (о-граниченный) – limitation (о-граничение). (прим. перев.)

Сказанного достаточно чтобы, не оставляя места ни малейшим сомнениям и не нуждаясь в иных соображениях, прояснить, что не может быть никакого математического или количественного бесконечного, и что это выражение даже не имеет вовсе смысла, поскольку количество само по себе есть определённая категория. Число, пространство и время, к которым некоторые желают применить понятие этого так называемого бесконечного, являются определёнными, обусловленными состояниями, и как таковые могут быть только конечными; они представляют собой не что иное, как некоторые возможности или некоторые наборы возможностей, кроме и вне которых существуют другие, и это, очевидно, подразумевает их ограниченность. В этом отношении можно сказать ещё следующее: помышлять о Бесконечном количественным образом значит не только ограничивать его, но и к тому же помышлять о нём как о чём-то, подверженном возрастанию и убыванию, что не менее абсурдно; при подобных соображениях нетрудно представить не только несколько бесконечностей, сосуществующих без смешения или исключения друг друга, но также бесконечности, которые являются большими или меньшими других; и в итоге, когда бесконечное при таких условиях становится столь относительным понятием, что оно более не является удовлетворительным, изобретается понятие "трансфинитного", то есть области количества, большего чем бесконечность. Вот здесь как раз имеет место так называемое "изобретение", ибо такие концепции не соответствуют какой-либо реальности вообще. Столь много слов, столь много абсурдных соображений, даже касательно простейшей элементарной логики – но даже это не останавливает некоторых лиц, ответственных за это состояние науки, от провозглашения себя "специалистами" в области логики, столь велика интеллектуальная сумятица в наше время!

Следует отметить, что немного выше мы намеренно сказали не "помышлять о количественном бесконечном", но "помышлять о Бесконечном количественным образом", и это следует прояснить. Этим выражением мы желали указать на исследователей, называемых на современном философском жаргоне "инфинитистами"; в самом деле, все прения между "финитистами"* и "инфинитистами" ясно показывают, что у обеих сторон общей является как минимум эта ошибочная идея о сродстве метафизического Бесконечного математическому бесконечному, если не их полное отождествление6. Таким образом, обе эти партии равным образом игнорируют наиболее элементарные принципы метафизики, поскольку наоборот только понятие истинного, метафизического Бесконечного позволяет нам отвергнуть любые "частные бесконечные", если можно так выразиться, такие, как так называемое количественное бесконечное, и заранее быть уверенными, что, где бы оно не встретилось, оно представляет собой всего лишь иллюзию; затем следует лишь задаться вопросом о том, что вызвало эту иллюзию, для того чтобы заменить её понятием, более близким к истине. Одним словом, в каждом случае рассмотрения конкретной вещи, определённой возможности, мы можем быть априори уверенными, что она ограничена самим фактом своего наличия и, можно сказать, ограничена по своей природе, и это равным образом справедливо в случае невозможности (по какой бы то ни было причине) фактического достижения её границ; но именно эта невозможность достижения границ некоторых вещей, а иногда и ясного их осмысления, и создаёт иллюзию отсутствия у этих вещей границ, по крайней мере, у людей, незнакомых с метафизическими принципами; и, подчеркнём ещё раз, единственно эта иллюзия и ничто более выражена в противоречивой формулировке "определённая бесконечность".

* "Финитистами" в Средние века и позже называли сторонников дискретной онтологии. См.: В.П. Зубов. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. Москва: Наука, 1965. с. 89 и след. (прим. перев.)

6 В качестве характерного примера позволим себе привести место из заключительной части работы Л. Кутюра De l'infini math?matique, в которой он пытался доказать существование бесконечности чисел и размеров, утверждая, что его намерением было показать своей работой, что "несмотря на новую волну критицизма [т.е. теории Ренувье и его школы], возможность построения инфинитистской метафизики приемлема"!

Для того чтобы исправить это ошибочное понятие, или, скорее, чтобы заменить его понятием, соответствующим реальному положению вещей7, следует ввести идею неопределённого, которая представляет собой именно идею развёртывания возможностей, границы которых мы фактически не можем достичь; и именно поэтому мы рассматриваем различие между Бесконечным и неопределённым как фундаментальное применительно ко всем проблемам, в связи с которыми возникает это так называемое математическое бесконечное. Без сомнения, именно это различие соответствовало в построениях его авторов схоластическому различию между infinitum absolutum и infinitum secundum quid. Весьма досадно, что Лейбниц, столь много позаимствовавший у схоластики, упустил это различие или пренебрёг им, ибо, какой бы несовершенной ни была форма, в которую оно облечено, оно бы позволило ему достаточно легко справиться с некоторыми возражениями, возникшими против его метода. Напротив, Декарт, кажется, действительно пытался установить рассматриваемое различие, однако он был весьма далёк от того, чтобы выразить его или даже помыслить о нём с достаточной аккуратностью, поскольку, согласно ему, неопределённым является то, границы чего мы не воспринимаем, и что в реальности могло бы быть бесконечным, хотя мы и не можем утверждать этого – в то время как истинной точкой зрения является то, что мы напротив можем утверждать небесконечность чего-либо, и что никоим образом не является необходимым воспринимать границы этого объекта для уверенности в их существовании. Таким образом, можно видеть, насколько туманными и запутанными являются все такие объяснения, которые всегда своей почвой имеют отсутствие принципиальных оснований. Декарт в самом деле говорил: "Когда мы рассматриваем вещи, в которых мы, в определённом смысле8, не замечаем границ, мы не можем утверждать на основании этого, что они бесконечны, но мы должны считать их только неопределёнными"9. И в качестве примеров он приводит протяжённость и делимость тел; он не настаивает, что эти явления бесконечны, но, очевидно, он не желает и явно отрицать этого, тем более что незадолго до этого он заявляет, что не намерен "ввязываться в дебаты о категории бесконечного", что является очевидным удобным способом отмахнуться от трудностей, даже если позже он и говорит, что "хотя мы наблюдаем некоторые явления, которые кажутся нам не имеющими вовсе границ, мы сознаём, что это происходит от недостатка осмысления, а не от их природы"10. Короче говоря, он совершенно обоснованно желает сохранить имя бесконечного для того, что не имеет границ; но, с одной стороны, кажется, он не знает со всей уверенностью, всегда подразумеваемой метафизическим знанием, что не имеющее границ не может быть чем-то иным кроме как универсальным Всем, а с другой стороны, само его понятие неопределённого требует серьёзного уточнения; будь оно точным, несомненно, не было бы столь значительного количества столь легко порождаемых недоразумений11.

 

7 Следует, со всей логической строгостью, различать "ошибочное понятие" (или, если угодно, "псевдо-понятие") и "неправильное понятие": "неправильным понятием" является понятие, не соответствующее реальности надлежащим образом, хотя оно тем не менее соответствует реальности в определённой мере; напротив, "ошибочное понятие" подразумевает противоречие – как в данном случае – и поэтому не является собственно понятием, даже неправильным, хотя и кажется таковым тем, кто не улавливает находящегося в нём противоречия, ибо, выражая только невозможное, которое тождественно ничтожности, оно не соответствует абсолютно ничему; "неправильное понятие" может быть исправлено, а "ошибочное понятие" может быть только целиком отвергнуто.

8 Эти слова, кажется, относятся к схоластическому понятию secundum quid, и поэтому, возможно, основной целью приведённой фразы была косвенная критика выражения infinitum secundum quid.

9 Principes de la Philosophie, I, 26.

10 Там же, I, 27.

11 Так, в своей переписке с Лейбницем по вопросу об исчислении бесконечно малых, Вариньон употребляет термины "бесконечное" и "неопределённое" без различия, как будто они по сути синонимичны, или, по крайней мере, как будто неважно, скажем так, если один будет заменять другой, хотя напротив именно разница в значениях этих слов должна была рассматриваться в качестве отправного пункта этих дискуссий.

Мы утверждаем, что неопределённое не может быть бесконечным, так как оно всегда подразумевает некоторую обусловленность и ограничение, будь то в плане размера, продолжительности, делимости или в какой-либо иной возможности; одним словом, что бы ни представляло собой неопределённое и в каком аспекте его ни рассматривать, оно принадлежит категории конечного и может быть исключительно только конечным. Без сомнений, его границы могут быть увеличены до тех пор, пока они не окажутся вне нашей досягаемости, во всяком случае, в той мере, в какой мы намерены постигать их некоторым способом, который можно назвать "аналитическим" (что мы более подробно поясним далее); но они посредством этого никоим образом не упраздняются, и, во всяком случае, если могут быть упразднены ограничения некоторого определённого порядка, останутся другие, имеющие такую же природу, что и первые, ибо именно в силу своей природы, а не просто неких более-менее внешних или акцидентальных обстоятельств каждая конкретная вещь является конечной, вне зависимости от степени возможного модифицирования присущих ей ограничений. В этом отношении можно указать, что символ ?, которым математики обозначают своё так называемое бесконечное, является замкнутой фигурой, поэтому очевидно конечной, так же как и круг, который некоторыми по непонятной причине был сделан символом вечности, в то время как в действительности он может быть только символом временного цикла, всего-навсего неопределённого на своём уровне, то есть того, что корректно называется повторяемостью или цикличностью12; и нетрудно заметить, что это смешение вечности и цикличности, столь распространённое среди современных людей Запада, тесно связано со смешением Бесконечного и неопределённого.

12 Снова следует отметить (как мы уже поясняли в другой работе), что такой цикл в действительности никогда не бывает замкнутым, и кажимость такой замкнутости сохраняется лишь до тех пор, пока наблюдатель рассматривает такой цикл с перспективы, не позволяющей воспринять расстояние, существующее в реальности между его крайними точками – точно так же как спираль, расположенная вдоль вертикальной оси, выглядит как круг при проекции на горизонтальную плоскость.

Для того чтобы лучше понять идею неопределённого и способ, которым оно образуется из конечного в его обычном смысле, можно рассмотреть какой-нибудь пример, скажем, пример последовательности чисел: в этом случае, очевидно, никогда не существует возможности остановиться в определённой точке, поскольку после каждого числа всегда есть ещё одно, которое может быть получено путём прибавления единицы; следовательно, ограничение этой неопределённой последовательности должно происходить из уровня, инакового по отношению к уровню определённого ряда чисел, взятого между любыми двумя определёнными числами; это ограничение должно выводиться не из частных свойств отдельных чисел, а скорее из самой природы числа во всей её универсальности, то есть из такой определённости или обусловленности, которая, существенным образом составляя эту природу, делает число непосредственно тем, чем оно является, и ничем иным. Можно было бы сделать в точности такое же наблюдение в случае рассмотрения не категории числа, а категорий пространства или времени, таким же образом рассмотренных во всех возможных модификациях, которым они подвержены13. Любая такая модификация, неопределённая в меру её восприятия и по действительной своей природе, никогда никоим образом не выйдет за пределы конечного. В самом деле, в то время как конечное с необходимостью подразумевает существование Бесконечного – ибо это последнее является тем, что охватывает и объемлет все возможности – неопределённое наоборот происходит от конечного, всего лишь развёртыванием которого оно является в реальности и к которому оно, следовательно, всегда сводимо, ибо очевидно, что какие бы операции не совершать с конечным, из него нельзя вывести как что-либо большее, так и что-либо инаковое относительно того, что уже потенциально в нём содержится. Снова взяв пример с последовательностью чисел, можно сказать, что эта последовательность, при всей неопределённости, ею подразумеваемой, дана нам через формулу её образования, поскольку именно из этой самой формулы непосредственно следует эта неопределённость; формула же эта заключается в том, что при наличии некоего числа, можно образовать следующее путём добавления единицы. В силу этого последовательность чисел образуется путём последовательных прибавлений единицы к самой себе, повторенных неопределённое количество раз, что представляет собой, по существу, всего лишь неопределённого рода модификацию процесса образования любой арифметической суммы; и на этом примере достаточно ясно видно, как неопределённое образуется из конечного. Вместе с тем, данный пример обязан своей особенной чёткостью дискретному характеру численных величин; однако, для рассмотрения проблемы в более общей перспективе, применимой ко всем случаям, достаточно утвердить саму идею "становления", подразумеваемую термином "неопределённый", что мы уже отмечали выше, когда говорили о развёртывании возможностей, развёртывании, которое само по себе и во всём своём течении всегда состоит из чего-то незаконченного14; смысл этого замечания станет вполне ясен при рассмотрении "переменных величин" в их отношении к исчислению бесконечно малых.

13 Таким образом, бессмысленно утверждать, что, например, пространство может быть ограничено только чем-то также пространственным, при том что пространство вообще не может быть ограничено ничем; оно, напротив, ограничено самой той обусловленностью, которая составляет его собственную природу в качестве пространства и которая оставляет место, вне его, всем непространственным возможностям.

14 Ср. замечание А.К. Кумарасвами по поводу платоновского понятия "меры", приведённое нами в другой работе (Царство количества и знамения времени, гл. 3): "не измеренное" – это то, что ещё не было определено, то есть, короче говоря, неопределённое, и оно тем самым одновременно представляет собой нечто, только неполностью реализованное в проявленности.

Глава 2.

Противоречивость понятия "бесконечное число".

Как мы ещё отчётливее проясним по ходу дальнейшего изложения, в некоторых случаях достаточно заменить идею так называемого бесконечного идеей неопределённого, для того чтобы немедленно развеять все возникающие проблемы; но в некоторых случаях этот шаг невозможен, поскольку речь идёт о чём-то явно определённом – "постоянном", так сказать, по определению – которое, как таковое, не может быть причислено к неопределённому исходя из наших недавних замечаний. Так, например, можно сказать, что некоторая последовательность чисел неопределённа, но не что некоторое число, каким бы большим его ни предполагали и какое бы положение оно ни занимало в последовательности, является неопределённым. Идея "бесконечного числа", понимаемого как "наибольшее из всех чисел" или "число всех чисел" или "число всех единиц", является сама по себе поистине противоречивой идеей, которая осталась бы невозможной даже при отказе от неправомерного употребления слова "бесконечное". Не может быть числа, большего чем все другие, поскольку, как бы велико ни было число, всегда можно образовать большее путём добавления единицы, согласно формуле образования последовательности, упомянутой нами ранее. Это равнозначно утверждению, что у последовательности чисел не может быть конечного члена, и именно по той причине, что она не "оканчивается", она является поистине неопределённой; поскольку число членов последовательности равно последнему её члену, можно сказать, что последовательность "неисчислима", и к этой идее мы ещё вернемся по ходу дальнейшего изложения.

Невозможность "бесконечного числа" может быть установлена и другими различными аргументами. Лейбниц, который, по крайней мере, хотя бы это понимал чётко1, рассматривал аргумент о сопоставлении последовательности чётных чисел с последовательностью целых чисел: каждому числу в таком сопоставлении соответствует другое число, равное произведению первого на два, таким образом, можно сопоставить обе последовательности почленно, и результатом будет совпадение количества членов в обеих; но, очевидно, что целых чисел в два раза больше, чем чётных, поскольку чётные числа идут через одно в последовательности целых чисел; таким образом, сопоставление приводит к очевидному противоречию. Этот аргумент можно обобщить, взяв вместо последовательности чётных чисел (то есть умноженных на два) числа, умноженные на любое число, и вывод останется прежним; или же, подобным образом, можно взять последовательность квадратов целых чисел2 или, более общим образом, последовательность их степеней любого показателя. В любом случае, вывод будет прежним: последовательность, включающая только часть целых чисел будет равной по числу членов другой последовательности, включающей все целые числа, что равнозначно утверждению, что целое не больше его части, и, при допущении существования числа всех чисел, это противоречие будет неизбежным. Тем не менее некоторые полагали возможным избежать данного противоречия, предполагая существование чисел, умножение на определённое число или возведение в определённую степень которых невозможно именно по причине того, что такие операции будут иметь результатом число, превосходящее так называемое "бесконечное число"; находятся даже такие, которые в самом деле склоняются к рассмотрению чисел, описываемых как "большие чем бесконечность", – так появляются такие теории, как "трансфинитные числа" Кантора, которые могут выглядеть весьма хитроумными, но находятся за пределами какой-либо логической состоятельности3: является ли вообще мыслимой такая фантазия, которая предполагает именовать число "бесконечным", когда напротив оно настолько "конечно", что даже не является наибольшим из чисел? Более того, при наличии таких теорий будут существовать такие числа, к которым не будут применимы никакие из правил обыкновенного вычисления, то есть, коротко говоря, числа, которые не будут являться в действительности числами, а только называться таковыми по соглашению4. Так неизбежно происходит, когда в попытке помыслить "бесконечное число" иным образом, нежели как наибольшее из чисел, рассматривают различные "бесконечные числа", предположительно неравные друг другу, которым приписываются качества, уже не имеющие ничего общего с качествами обычных чисел; так через уход от одного противоречия открывается дорога к нескольким новым, и всё это, по сути, является только результатом того самого пресловутого бессмысленного "конвенционализма".

1 Он писал: "Невзирая на мою теорию исчисления бесконечно малых, я не признаю существования в действительности бесконечного числа, хотя я признаю, что совокупность всех вещей превосходит все конечные числа или, скорее, всякое число".

2 Это было произведено Коши, который приписывал этот аргумент Галилею (Sept le?ons de Physique g?n?rale, лекция третья).

3 Уже во времена Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam infinita (более чем бесконечное пространство); эта точка зрения, раскритикованная Вариньоном как заключающая противоречие, также поддерживалась Гвидо Гранди в его книге De Infinitis infinitorum (О бесконечности бесконечных). С другой стороны, Иоганн Бернулли в ходе дискуссий с Лейбницем писал: "Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur" ("Если даны границы бесконечного, будут даны и границы бесконечно малых (не говорю: предельные границы), которые из них следуют"), что, при отсутствии более внятных пояснений с его стороны, выглядит как его предположение, что в числовой последовательности могут быть члены "за пределами бесконечного".

4 Ни в коем случае нельзя считать, что здесь дело в аналогическом употреблении понятия числа, ибо это подразумевало бы переход в область, инаковую по отношению к количеству; напротив, соображения такого рода всегда относятся исключительно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле.

Таким образом, идея так называемого "бесконечного числа", каким бы способом её ни излагали и каким бы именем ни называли, всегда содержит противоречивые элементы; вместе с тем, сама потребность в такой абсурдной идее отпадает с того момента, как только формируется адекватное понятие о сути неопределённости числа, а также понимание того, что число, несмотря на его неопределённость, ни в коем случае не приложимо ко всему существующему. Нет необходимости задерживаться на этом моменте, так как мы уже досточно пояснили его в других наших работах. Число является только модусом количества, а количество само по себе является всего лишь категорией или особенным модусом бытия, неравнообъёмным по отношению к нему, или, ещё точнее, количество является всего лишь условием, присущим одному определённому состоянию существования во всей целостности вселенского бытия; и именно этот момент современные учёные понимают с наибольшим трудом при их привычной склонности сводить всё к количеству и даже к численной оценке всего5. Тем не менее в самой области количества есть реалии, существующие вне числа, как мы увидим при рассмотрении категории непрерывности (континуальности); и даже оставаясь исключительно в сфере рассмотрения дискретного количества, следует признать, по крайней мере, косвенным образом, что число не приложимо ко всем явлениям – например, очевидно, что множество всех чисел не может составлять числа; что, вместе с тем, представляет собой только частный случай той неоспоримой истины, которая гласит, что нечто, ограничивающее некоторый уровень возможностей, должно с необходимостью принадлежать уровню внешнему и инаковому по отношению к ограничиваемым объектам6. Необходимо только уяснить, что такое множество, будь оно прерывным, как в случае последовательности чисел, или непрерывным – этот вопрос мы рассмотрим далее – никоим образом не может именоваться бесконечным, и в таких случаях не может иметь места ничего кроме неопределённого; и именно это понятие множества мы сейчас намерены рассмотреть более подробно.

5 Так, Ренувье полагал, что число приложимо ко всему, по крайней мере, в идеальном плане, то есть что всё "исчислимо" само по себе, даже если мы фактически неспособны его "исчислить"; поэтому он совершенно неверно понял значение, которое Лейбниц придавал понятию "множество", и он так и не уяснил, каким образом различие между множеством и числом позволяет избежать противоречия "бесконечного числа".

6 Мы сказали тем не менее, что каждая конкретная или определённая вещь, что бы она собой ни представляла, ограничена по самой своей природе, но здесь нет абсолютно никакого противоречия: действительно, она ограничена негативной стороной этой природы (ибо, как выразился Спиноза: "omnis determinatio negatio est" – "всякое определение есть отрицание"), то есть своей природой, рассматриваемой в той мере, в какой она исключает другие вещи и оставляет их вне самое себя*, таким образом, что в итоге именно сосуществование этих иных вещей производит ограничение рассматриваемой вещи; вместе с тем, именно по этой причине универсальное Всё, и только оно одно, не может быть ограничено ничем.

* Сущность (лат. essentia) есть принцип негативный, принцип отрицания (иных содержаний бытия), ограничения бытия (сведения его к конечному бытию), определённости – в отличие от принципа бытия, который есть позитивный принцип, принцип полагания. См.: Э. Корет. Основы метафизики. / пер. В. Терлецкого. Киев, 1998. разд. 3.2.3. (прим. перев.)

Глава 3.

Неисчислимое множество.

Как мы уже видели, Лейбниц никоим образом не допускал понятия "бесконечного числа", поскольку он напротив явным образом заявлял, что оно повлечёт за собой противоречие, в каком бы смысле его ни рассматривать; с другой стороны, он допускает понятие, именуемое им "бесконечным множеством", хотя и без уточнения – как, во всяком случае, делали и схоласты – что при любых обстоятельствах оно может быть только infinitum secundum quid (бесконечным в определённом отношении), примером какового множества для него была последовательность чисел. С другой точки зрения, в области количества и даже в области непрерывных величин идея бесконечного тем не менее всегда представляется ему подозрительной на предмет, по крайней мере, возможного противоречия, поскольку, будучи далеко не полноценной идеей, она неизбежно влечёт некоторую путаницу, а нельзя быть уверенным, что некоторая идея не заключает в себе противоречия, пока мы отчётливо не осмыслили все её составляющие1; это соображение едва ли позволяет усвоить этой идее "символический" – хотя мы бы скорее сказали "представительный" – характер, и, как мы увидим далее, именно поэтому Лейбниц так и не отважился произнести чёткое суждение о природе "бесконечно малого"; но именно это замешательство, этот неуверенный подход ещё более ярко указывает на недостаточность принципиальных оснований, позволившую ему признать возможность оперирования понятием "бесконечное множество". В связи с этим можно было бы поинтересоваться, не задумывался ли он о том, что для того чтобы быть "бесконечным", по его выражению, такое множество должно было бы не только не быть "исчислимым" (что очевидно), но и должно было бы вовсе не быть количественным (если рассматривать количество во всём его объёме и модификациях); это имеет место в некоторых случаях, но не во всех; как бы то ни было, по этому пункту он так и не объяснился чётким образом.

1 Декарт говорил исключительно о "ясных и отчётливых идеях"; Лейбниц утверждал, что идея может быть ясной, не будучи отчётливой, то есть может позволять распознать себя и отличать от других вещей, в то время как отчётливой идеей является идея, не только "различаемая" в этом смысле, но и "различённая" в её составляющих частях; вместе с тем, идея может быть более или менее отчётливой, а полноценной идеей является идея отчётливая полностью и во всех её элементах; однако, в то время как Декарт считал, что можно иметь "ясные и отчётливые" идеи всего, Лейбниц напротив считал, что полноценными могут быть только математические идеи, элементы которых представляют собой как бы определённые числа, в то время как все другие идеи заключают в себе множества элементов, анализ которых никогда не выполним до конца, и, таким образом, всегда остаются частично путанными.

Идея множества, превосходящего всякое число и, следовательно, не являющегося числом, похоже, приводила в изумление большую часть учёных, рассматривавших концепции Лейбница, как "финитистов", так и "инфинитистов"; тем не менее она является далеко не достоянием Лейбница, как они большей частью, похоже, считали, а напротив была широко известна уже схоластам2. Эта идея применялась в частности ко всему, не являющемуся ни числом, ни "исчислимым", то есть ко всему, не относящемуся к области дискретного количества, будь то явления, принадлежащие другим модусам количества, или нечто, находящееся вовсе вне области количества, ибо эта идея подразумевала принадлежность таких явлений к уровню "трансценденталий"* или общих модусов бытия, которые, в отличие от его частных модусов, таких как количество, являются равнообъёмными с бытием3. Исходя из этого, можно говорить о множестве божественных атрибутов, например, или о множестве ангелов, то есть существ, обретающихся в состояниях, не подверженных количественности, где, следовательно, нет и понятия числа; исходя из этого также можно говорить о состояниях сущего или степенях существования, также множественных или также составляющих неопределённое множество, хотя количество присуще в качестве одного из особых условий только каждому такому состоянию по отдельности. С другой стороны, поскольку идея множества, в отличие от идеи числа, применима ко всему существующему, должны с необходимостью быть множества количественного порядка, в частности, по-видимому, в области континуального (непрерывного) количества, и по этой причине мы только что сказали, что будет некорректным считать каждый случай так называемого "бесконечного множества", то есть множества, превосходящего всякое число, случаем полного выхода за пределы области количества. Более того, число само по себе может рассматриваться как вид множества, но при дополнительном условии, что оно будет "множеством, измеряемым единицей", по выражению Фомы Аквинского; все другие виды множеств при этом нужно считать "неисчислимыми" или "неизмеримыми", что не означает, что они являются бесконечными, а означает только, что они являются неопределёнными.

2 Мы сошлёмся только на один текст, который особено чётко выражает эту мысль: "Qui diceret aliquam multitudinem esse infinitam, non diceret eam esse numerum, vel numerum habere; addit etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim numerus multitudo mensurata per unum <…> et propter hoc numerus ponitur species quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est de transcendentibus" – "Если сказать, что некоторое множество бесконечно, это не значит сказать, что оно представляет собой число или имеет число, ибо число прибавляет ко множеству идею меры. Ибо число есть множество, измеряемое единицей <…> и по этой причине число классифицируется как вид дискретного количества, но множество не классифицируется таким образом, а скорее является одной из трансценденталий" (Фома Аквинский, Физика, III, 1.8).

* Трансценденталии – в схоластике наиболее широкие понятия (свойства бытия), превосходящие все онтологические границы, относящиеся к бытию вообще и являющиеся его атрибутами. Классическим стало признание трёх основных трансценденталий: единое, истинное и благое (unum, verum, bonum). Подробнее см.: Э. Корет. указ. соч., разд. 2.1.4, 2.4.2, 5.1. (прим. перев.)

3 Известно, что схоласты, даже в собственно метафизических разделах своих доктрин, никогда не шли дальше рассмотрения Бытия, таким образом для них метафизика, фактически, сводилась единственно к онтологии**.

** Это замечание, будучи верным по сути, т.е. применительно к европейской схоластике в общих чертах (особенно к зрелому её периоду, т.е. к эпохе экзистенциалистского томизма, сформировавшегося во второй половине 13 века), тем не менее не учитывает второстепенной (подчинённой томизму со времени его утверждения), однако не менее активной линии европейской схоластики, которую можно назвать "эссенциалистской", к которой можно причислить большинство августинианцев, большинство францисканцев и всех финитистов. Ярким примером может быть Николай Кузанский, разрабатывавший учение о "возможности", превосходящей "бытие", т.е. явно отвергавший томистский экзистенциализм. Сведение метафизики к онтологии характерно как раз для томизма (ср. Э. Корет: "Метафизика есть онтология, т.е. учение о бытии" – указ. соч., разд. 2.4.2).

Генон, как и другие европейские исследователи, к сожалению, обходит вниманием наличие и весьма высокую степень разработанности византийской схоластики, которая до начала 13 века (до завоевания Константинополя крестоносцами в 1204 году) была, преимущественно, эссенциалистской (см.: Ю. Чорноморець. Візантійський неоплатонізм від Діонісія Ареопагіта до Геннадія Схоларія. Київ, 2010. с. 348-359). К сожалению, труды византийских схоластов этого периода остаются почти в полном составе неопубликованными (см.: Ф.И. Успенский. Очерки по истории византийской образованности. Москва, 2010. с. 144, 152). Экзистенциализм, схожий по типу с томистским, установился в качестве официальной философии Византии только с победой паламизма в 1351 году, не без значительного сопротивления части интеллектуальной и политической элиты (см.: Ф.И. Успенский, указ. соч., с. 225-226, 300-303). (прим. перев.)

В связи с этим следует отметить достаточно странный факт: для Лейбница это множество, не составляющее числа, является тем не менее "результатом единиц"4. Как это следует понимать, и какие в действительности единицы имеются в виду? Слово "единица" можно рассматривать в двух совершенно разных смыслах5: с одной стороны, есть арифметическая или количественная единица, которая является первым элементом числа, его отправной точкой, а, с другой стороны, есть нечто аналогическим образом обозначаемое как метафизическое Единое, которое отождествляется с самим чистым Бытием; кроме этих значений мы не видим никаких других; к тому же, когда слово "единица" употребляется во множественном числе, очевидно, его можно понимать только в количественном смысле. Однако, если это так, тогда сумма этих единиц не может представлять собой что-либо иное помимо числа и никоим образом не может превосходить число; правда, Лейбниц употреблял слово "результат", а не "сумма", но это различие, даже если оно было намеренным, тем не менее остаётся невнятным. Кроме того, в другом месте он заявляет, что множество, не будучи числом, тем не менее постигается по аналогии с числом: "Когда существует большее количество вещей, – говорит он, – чем может быть охвачено каким-либо числом, мы всё равно приписываем им аналогическим образом число, которое называем бесконечным", – хотя, кажется, это только оборот речи, modus loquendi6, и даже, в такой форме, крайне некорректный оборот речи, поскольку в реальности рассматриваемая вещь вовсе не является числом; однако, какими бы ни были недостатки выражений и те недоразумения, к которым они могут привести, мы в любом случае должны признать, что отождествление множества и числа, несомненно, не подразумевалось построениями Лейбница.

4 Syst?me nouveau de la nature et de la communication des substances.

5 Французское слово unit? имеет двойное значение "единицы" и "единства", как объясняет сам Генон. (ред.)

6 Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi infinitesimalis (Рассуждение о том, что к убывающим величинам неприменимы расчёты и пропорции, и об истинном понимании метода бесконечно малых), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

Другой пункт, которому Лейбниц, кажется, придавал немалое значение, это то, что "бесконечное", в его понимании, не составляет целое7; он считает, что эта предпосылка необходима во избежание противоречий в рассуждениях, однако здесь заключается ещё одна значительная неясность. Можно задаться вопросом, какое "целое" здесь имеется в виду, и в этом случае прежде всего придётся полностью отбросить идею универсального Всего, которое напротив, как мы утверждали с самого начала, представляет собой метафизическое Бесконечное, единственно истинное Бесконечное, которое никоим образом не может рассматриваться в этом случае; в самом деле, при рассмотрении области как континуального, так и дискретного, "неопределённое множество", рассматриваемое Лейбницем в каждом из этих случаев, имеет смысл только в ограниченной и контингентной* области космологического, но не метафизического порядка. Вместе с тем, очевидно, это также и вопрос о целом, понимаемом как состоящее из частей, в то время как (что было пояснено нами ранее8) универсальное Всё, собственно говоря, "не имеет частей", в силу самой своей бесконечности, поскольку такие части с необходимостью относительны и конечны и поэтому не могут иметь реальной связи с ним, что равнозначно утверждению, что для него они не существуют. Таким образом, что касается поставленного вопроса, следует ограничиться рассмотрением частного целого; но здесь снова, опять-таки в отношении структуры такого целого и его отношения к своим частям, есть два способа рассмотрения, соответствующие двум весьма различным смыслам слова "целое". Во-первых, существует целое, представляющее собой не более и не что иное, нежели простую сумму своих частей, из которых оно состоит наподобие арифметической суммы – такое понятие целого, по мнению Лейбница, является очевидно фундаментальным, поскольку такой способ его образования в точности соответствует способу образования, присущему числу (при этом Лейбниц отказывается рассматривать реалии, лежащие за пределами области числа). Но в действительности такое понятие, явно не будучи единственным способом осмысления какого-либо целого, не является даже понятием собственно целого в самом строгом смысле этого слова. В самом деле, такое целое, которое, таким образом, является только суммой или результатом своих частей, и которое, следовательно, является логически вторичным по отношению к ним, представляет собой, по существу, не что иное, как ens rationis (логическое или умственное бытие), ибо оно является "единым" и "целым" только в той мере, в какой мы осмысляем его как таковое; само по себе оно является, строго говоря, всего лишь "группой", и это мы, посредством способа нашего рассмотрения, придаём ему в некотором относительном смысле характер единства и целостности. Напротив, истинное целое, обладая характером целого по своей природе, должно быть логически первичным, предшествующим своим частям и независимым от них: таков случай непрерывного множества, которое мы можем делить на части произвольно, то есть на части любого размера, без того чтобы хоть в какой-либо мере предполагать действительное существование таких частей; в данном случае мы сами придаём реальность таким частям, посредством мнимого либо действительного разделения, и этот случай, таким образом, представляет собой полную противоположность предыдущему.

7 Ср. там же: "Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum, nec totum, nec quantum est" ("Бесконечное, как континуальное, так и дискретное, собственно говоря, не является ни единым, ни целым, ни количеством"), где выражение nec quantum, кажется, подразумевает, что для Лейбница, как мы указывали ранее, "неопределённое множество" не может мыслиться количественно, если только под quantum он не имел в виду исключительно определённое количество, такое, каким должно было бы быть так называемое "бесконечное число", противоречивость которого он уже пояснил.

* Понятие "контингентного" (т.е. не-необходимо сущего), центральное в схоластике авраамических религий, выражает особенный характер тварного, обусловленность конечного сущего, т.е. его зависимость от абсолютного бытия, и, следовательно, различие сущности и существования в конечном сущем (см.: Э. Корет. указ. соч., разд. 3.2.4). (прим. перев.)

8 По этому поводу см. подробнее: Множественность состояний сущего, гл. 1.

Итак, собственно вопрос, коротко говоря, сводится к выяснению следующего: когда Лейбниц говорил, что "бесконечое не является целым", исключал ли он вышеупомянутый второй смысл понятия "целое" так же, как и первый? Кажется, что исключал, и следует полагать так, поскольку только в том втором смысле целое будет поистине "единым", а бесконечное, согласно Лейбницу, не является nec unum, nec totum (ни единым, ни целым). Что дополнительно подтверждает эту точку зрения, это то, что именно второй упомянутый смысл, а не первый, применим к живому существу или организму, рассматриваемому с точки зрения целостности; а Лейбниц говорит: "Даже Вселенная не является целым, и её не следут рассматривать как живое существо, душой которого является Бог, как думали древние"9. Однако, если это так, невозможно понять, как идеи бесконечного и континуального могут выступать как связанные, в качестве каковых он чаще всего их рассматривает, поскольку идея континуального, по крайней мере, в некотором смысле, связана именно со вторым упомянутым пониманием целостности; но этот пункт мы подробнее поясним по ходу дальнейшего изложения. В любом случае, ясно то, что если бы Лейбниц постиг третий смысл слова "целое", чисто метафизический смысл, превосходящий другие два, а именно понятие универсального Всего, изложенное нами в самом начале данной работы, он не смог бы сказать, что понятие бесконечного исключает целостность, ибо он помимо прочего заявлял: "Реально бесконечным является, пожалуй, сам абсолют, который не состоит из частей, но, имея части, постигает их превосходящим всё разумом, сообразно степени его совершенства"10. Здесь, можно сказать, как минимум виднеется свет в конце тоннеля, ибо в данном случае, почти по случайности, он употребляет слово "бесконечное" в его истинном смысле, хотя ошибочно утверждать, что это бесконечное "имеет части", каким бы образом это ни понимать; но странно, что он снова выражает свою мысль в исключительно неясной и запутанной форме, как будто он не полностью утвердился относительно смысла этой своей идеи; и в самом деле, видимо, он так и не утвердился в этой идее, ибо в противном случае невозможно объяснить, почему он столь часто игнорировал её собственный смысл, и почему при рассмотрении его высказываний о бесконечном порой так трудно уразуметь, намеревался ли он употребить этот термин строго, хотя и некорректно, или предлагал ли он просто "оборот речи".

9 Письмо Иоганну Бернулли. – Здесь Лейбниц достаточно необоснованно приписывает древним вообще мнение, в реальности разделявшееся только некоторыми из них; он, очевидно, имеет в виду доктрину стоиков, которые рассматривали Бога как исключительно имманентного, отождествляя его с Anima Mundi (мировой душой). Вместе с тем, само собой разумеется, что в этом случае рассматривается только проявленная Вселенная, то есть космос, а не универсальное Всё, которое охватывает все возможности, непроявленные, так же как проявленные.

10 Письмо Иоганну Бернулли от 7 июня 1698 года.

Глава 4.

Метрика континуального.

До сих пор, говоря о числе, мы имели в виду исключительно целые числа1, и логически это было необходимо, поскольку мы рассматривали численную величину исключительно как дискретную величину: между двумя идущими подряд членами последовательности целых чисел всегда имеется строго определённый интервал, установленный разницей в единицу, существующей между этими двумя числами, которая, при верности принципу целых чисел, никоим образом не допускает уменьшения. Более того, в реальности только целые числа являются истинными числами или, можно ещё сказать, чистыми числами*; и последовательность целых чисел начиная с единицы продолжается, неопределённо возрастая, никогда не достигая последнего члена, само предположение существования которого, как мы видели, было бы противоречивым; однако, само собой размеется, что последовательность разворачивается только в одну сторону, и противоположное направление – то есть бесконечное убывание – не может быть ею выражено, хотя, с другой точки зрения, существует определённое соотношение и некий род симметрии между понятиями бесконечно возрастающих и бесконечно убывающих величин, как мы покажем далее по ходу изложения. Однако, людям было мало целых чисел и они начали подумывать о других видах чисел; обычно утверждается, что эти другие виды чисел представляют собой расширение или обобщение самой идеи числа, и это до известной степени так; но в то же время такое расширение представляет собой также искажение, и об этом современные математики, похоже, слишком легко забывают, поскольку их "конвенционализм" ведёт к непониманию ими происхождения и смысла этих чисел. В действительности числа, не являющиеся целыми, всегда возникают, прежде всего, как выражение результата операций, невозможных при верности точке зрения чистой арифметики, которая в строгом смысле является арифметикой исключительно целых чисел: так, дробное число, например, представляет собой не более чем выражение результата деления, невозможного в реальности, то есть такого, которое должно считаться арифметически невозможным, и, вместе с тем, именно это косвенно признаётся, когда говорят, в согласии с обычной математической терминологией, что одно из двух рассматриваемых чисел не делится на другое. Здесь следует указать, что определение, обычно даваемое дробным числам, является абсурдным; дроби никоим образом не могут быть "частями единицы", как их определяют, ибо истинная арифметическая единица является с необходимостью неделимой и не имеет частей; из этого следует сущностная дискретность числа, образуемого из единицы; но рассмотрим, откуда происходит абсурдный характер этих определений.

1 Похоже, что Генон, говоря о "целых числах" (nombres entiers) имеет в виду положительные целые числа, т.е. натуральные. (ред.)

* Признание реальности (т.е. соответствия реальной онтологии) только целых чисел было одним из пунктов финитистов. См. напр.: А.Н. Вяльцев. Дискретное пространство-время. Москва: Наука, 1965. с. 150. (прим. перев.)

В действительности вовсе не обязательно слепо принимать результаты указанных операций вышеозначенным способом, вместо того чтобы посчитать их чистейшей невозможностью; по большому счёту, это происходит именно вследствие применения числа – дискретной (прерывной) величины – к измерению величин, принадлежащих порядку континуальных (непрерывных), как, например, пространственные величины. Между двумя этими модальностями величин существует естественное различие, заключающееся в том, что между ними не может быть установлено полное соответствие; для некоторого устранения этого несоответствия, по крайней мере, в некоторой возможной степени, стремятся как бы уменьшить интервалы этой дискретности, образуемой последовательностью целых чисел, путём введения других чисел между её членами, прежде всего, дробных чисел – что было бы бессмысленно без учёта данного соображения. Поэтому нетрудно уяснить, что только что отмеченный нами абсурдный характер определения дробей очевидным образом проистекает из смешения арифметической единицы и того, что называется "единицами измерения", единиц, являющихся таковыми только посредством условности и представляющих собой в реальности величины иного рода, нежели число, прежде всего, очевидно, геометрические величины. Единица длины, например, является всего лишь некоторой величиной длины, избранной по причинам, чуждым арифметике, и число 1 объявляется соответствующим ей, для того чтобы имелась возможность измерения всех остальных длин путём соотнесения их с ней; но любая длина, даже выраженная таким образом такими единицами, по самой своей природе является континуальной величиной, как, равным образом, и всегда неопределённо делимой. При сравнении её с другими длинами, не являющимися в точности кратными данной единице, возникает, таким образом, возможность рассмотреть части данной единицы измерения, которые на этом основании никоим образом не будут представлять собой части арифметической единицы; и именно таким образом вводится понятие дробных чисел в качестве выражения отношений величин, не делимых с точностью одна на другую. Измерение величины, в самом деле, представляет собой не что иное, как численное выражение её отношения к другой величине того же порядка, взятой в качестве единицы измерения или, собственно, в качестве единицы сравнения; и именно поэтому обычный метод измерения геометрических величин по существу основан на делении.

Вместе с тем, следует заметить, что несмотря на использование этого метода, всегда неизбежно остаётся что-то от дискретной природы числа, что, таким образом, препятствует получению точного эквивалента континуальному; можно уменьшать интервалы как угодно – то есть, в конечном счёте, уменьшать их неопределённо, задавая их меньше любой заранее заданной величины – но от них полностью всё равно никогда не избавиться. Чтобы лучше пояснить это, возьмём простейший пример геометрического континуума, прямую линию: рассмотрим половину прямой линии, протяжёную неопределённо в некотором направлении2, и пусть каждая из её точек соответствует числу, выражающему удалённость этой точки от начала, обозначенного нулём (поскольку её удалённость от самое себя, очевидно, не составляет величины); начиная с исходной точки линии, целые числа будут, таким образом, соответствовать следующим друг за другом краям отрезков данной линии, равным друг другу и единице длины; точки, содержащиеся внутри этих отрезков, будут выражаться только дробными числами, поскольку их расстояние от начала линии не будет точно кратным единице длины. Само собой разумеется, что если брать дробные числа со всё большими знаменателями и, следовательно, со всё меньшей разницей между ними, интервалы между точками, которым соответствуют эти числа, будут уменьшаться в такой же пропорции; таким образом интервалы могут уменьшаться неопределённо, теоретически насколько угодно, поскольку возможные знаменатели дробных чисел представляют собой целые числа, последовательность которых возрастает неопределённо3. Мы сказали "теоретически", ибо в действительности множество дробных чисел неопределённо, и невозможно взять абсолютно все из них, но предположим (идеальным образом), что все возможные дробные числа соответствуют точкам на рассматриваемой половине линии. Несмотря на неопределённое убывание интервалов, на этой линии всё равно останется некоторое множество точек, которым не будут соответствовать числа. С первого взгляда это может показаться странным и даже парадоксальным, но это тем не менее легко продемонстрировать, ибо такая точка может быть получена путём весьма простой геометрической конструкции. Построим квадрат с основанием на отрезке между точками 0 и 1 и проведём диагональ этого квадрата из точки 0, а затем окружность с центром в точке 0 и радиусом, равным этой диагонали; точка, в которой эта окружность пересечёт прямую, не может быть выражена никаким целым или дробным числом, поскольку расстояние от неё до точки 0 равно диагонали квадрата, несоизмеримой с его стороной, то есть с единицей длины. Таким образом, множества дробных чисел, несмотря на неопределённое убывание их значений, всё равно не хватает, чтобы заполнить, скажем так, отрезки между точками, содержащимися в линии4, что равнозначно утверждению, что это множество не является реальным и адекватным эквивалентом линейной непрерывности; для выражения мер определённых длин, таким образом, приходится вводить новые виды чисел, называемые несоизмеримыми, то есть такие, которые не имеют общей меры с единицей. Таковы иррациональные числа, выражающие результаты арифметически невозможных излечений корней, как, например, квадратный корень из числа, не являющегося квадратом другого числа; так, в предыдущем примере, отношение диагонали квадрата к его стороне и, соответственно, точка, удалённая от начала линии на длину этой диагонали могут быть выражены только иррациональным числом ?2, которое действительно является несоизмеримым, поскольку не существует целого или дробного числа, квадрат которого равнялся бы 2; и помимо этих иррациональных чисел существуют ещё другие несоизмеримые числа, геометрическое происхождение которых очевидно, как, например, число ?, выражающее отношению длины окружности к её диаметру.

2 По ходу дальнейшего изложения (при рассмотрении геометрического выражения отрицательных чисел) станет ясно, почему здесь следует рассматривать только половину прямой линии; кроме того, сам факт развёртывания последовательности чисел только в одном направлении, на что мы указывали ранее, уже является достаточным указанием на причину этого.

3 Это будет лучше пояснено, когда мы будем говорить об отрицательных числах.

4 Заметим, что мы не сказали "точками, составляющими (или образующими) линию", что стало бы поводом к ошибочному пониманию континуальности, как покажут некоторые соображения по ходу дальнейшего изложения.

Не вдаваясь глубже в вопрос "структуры континуума", можно с очевидностью заметить, что число, как бы далеко ни простирали его понятие, никогда совершенным образом не приложимо к континууму; в конечном итоге такое приложение всегда сводится к замене континуального дискретным, интервалы которого могут быть крайне малыми, и даже могут всё более убывать посредством неопределённой серии последовательных делений, но никогда не исчезают, ибо в реальности не существует "неделимого", к которому может быть сведено деление континуума, поскольку континуальная величина, какой бы малой она ни была, всегда останется неопределённо делимой*. Именно к этому делению континуума собственно относится идея дробных чисел; однако – и это особенно важно отметить – дробь, какой бы малой она ни была, всегда является находимой, измеримой величиной, и, какой бы малой ни предполагали разницу между двумя дробями, она всегда является равным образом измеримым интервалом. Свойство же неопределённой делимости, являющееся характерным свойством континуальных величин, очевидно, требует возможности всегда взять элемент сколь угодно малый и наличия интервала между этими элементами, также выражающегося в сколь угодно малой величине; однако – и именно здесь видна недостаточность дробных чисел и даже, можно сказать, числа вообще – для существования подлинной континуальности необходимо, чтобы эти элементы и эти интервалы не воспринимались как нечто находимое. Соответственно, наиболее точное выражение континуальной величины будет получено при рассмотрении не постоянных и находимых величин, таких, как только что рассмотренные, а наоборот, переменных, поскольку сама их переменность может рассматриваться как результат свойств континуальности; и такие величины должны быть способны к неопределённому убыванию посредством своей переменности, не исчезая и не достигая некоторого "минимума", который был бы не менее противоречивым, чем "неделимые" континуума: и именно в этом, как мы увидим далее, заключается истинное понятие бесконечно малых величин.

* О делимости континуума и проблеме "бесконечной делимости" см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 121 и след. (прим. перев.)

Глава 5.

Проблемы, возникающие в связи с

методом бесконечно малых.

В работе, в которой Лейбниц впервые представил свой метод бесконечно малых1, а также в нескольких своих следующих работах2, он особенно подчёркивал перспективы использования и применения нового исчисления, в соответствии с тенденцией модерна придавать больше важности практическим применениям науки, чем собствено науке самой по себе; затруднительно сказать, существовала ли действительно эта тенденция у самого Лейбница или такой способ представления его метода был только чем-то вроде уступки с его стороны. Как бы ни обстояло дело, для обоснования какого-либо метода, очевидно, недостаточно показать преимущества, которыми он обладает перед другими, ранее существовавшими методами, или удобства, предоставляемые им для практических вычислений, или даже результаты, уже полученные этим методом; противники теории исчисления бесконечно малых неустанно использовали этот довод, и именно исключительно их возражения заставили Лейбница приступить к разъяснению принципов и даже истоков его метода. Вместе с тем, вполне вероятно, что по этому последнему пункту он вообще никогда не высказывался, но, в конце концов, это не столь важно, так как зачастую случайные причины какого-либо открытия представляют собой всего лишь достаточно незначительные сами по себе обстоятельства; так или иначе, из того, что он писал по данному предмету3, всё, что нас интересует, это то, что он перешёл от рассмотрения "определимых" разниц между числами к рассмотрению "неопределимых" разниц, которые могут постигаться в геометрических величинах вследствие их континуальности, и что он также придавал большое значение этому переходу, так сказать, "естественному по природе вещей". Из этого следует, что для него бесконечно малые величины не явлены нам непосредственно естественным образом, но даны только как результат перехода от рассмотрения варьирования дискретной величины к рассмотрению варьирования континуальной величины и как результат применения первой для измерения второй.

1 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (Новый метод для наибольших и наименьших величин, а также касательных без использования дробных или иррациональных величин и уникальный способ исчисления для них), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1684.

2 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин), 1686. Все последующие работы посвящены решениям частных задач.

3 Сначала в его переписке, затем в Historia et origo Calculi differntialis (История и происхождение дифференциального исчисления), 1714.

Каков в точности смысл этих бесконечно малых величин, оперированием с которыми Лейбниц, не дав их предварительного определения, навлёк на себя известную критику, и позволял ли ему этот смысл рассматривать своё исчисление в качестве абсолютно строгого или, наоборот, всего лишь метода приближений? Ответить на эти два вопроса означало бы, тем самым, разрешить наиболее важные возражения, которые выдвигались против Лейбница; но, к сожалению, он сам так и не ответил на них предельно чётко, и даже его различные попытки дать такой ответ не всегда находятся в согласии между собой. В этом отношении следует заметить, что Лейбниц вообще был склонен к объяснению одних и тех же идей по-разному в зависимости от аудитории, перед которой он выступал; мы, конечно, не будем упрекать его за такое поведение, могущее быть источником раздражения только для буквалистов, поскольку, в принципе, он только следовал инициатическому, конкретно, розенкрейцеровскому предписанию, согласно с которым следует говорить с каждым на его языке; правда, иногда он применял этот принцип достаточно неудачно. В самом деле, если очевидно возможно облачить одну и ту же истину в различные формы выражения, само собой разумеется, что это должно делаться без какого-либо искажения или сокращения её, с тщательным воздержанием от какого-либо способа выражения, могущего повлечь за собой ошибочные представления; в этом отношении Лейбниц во многих случаях повёл себя неудачно4. Так, он продвигал мысль о "приспособлении идей" до такой степени, что иногда, казалось, давал справедливый повод упрёкам тех, кто желал видеть в его исчислении только метод приближений, ибо он иногда представлял своё исчисление как всего-навсего сокращённую версию древнего "метода исчерпывания", который был полезен для облегчения вычислений, но давал результаты, которые, при требованиях достаточной строгости, нужно было проверять другим методом; и тем не менее достаточно ясно, что не это лежало в основе идеи Лейбница, но что в реальности он видел в своём методе нечто гораздо большее, нежели просто подручное средство ускорения вычислений.

4 На языке розенкрейцеров можно сказать, что эти примеры, в той же мере (и даже большей), как и его проекты characteristica universalis, доказывают, что, даже если у него и была какая-то теоретическая идея природы "дара языков", он тем не менее воспринял её далеко не действенным способом.

Лейбниц часто заявлял, что бесконечно малые величины с необходимостью являются "несравнимыми", но в отношении точного значения, в котором должно пониматься это слово, он давал пояснение не только неудовлетворительное, но и крайне неудачное, ибо оно могло только вооружить против него его противников, которые, при этом, не преминули воспользоваться этим обстоятельством; здесь снова очевидно, что он не выражал свои действительные мысли, и на этом втором примере излишнего "приспособления" идей, ещё более тяжеловесного, чем первый случай, мы увидим, как за "адаптированными" выражениями истины на самом деле скрываются ошибочные взгляды. Лейбниц писал:

"Не следует понимать здесь бесконечное в строгом смысле, но только в том смысле, в котором в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удалённой точки и поэтому могут рассматриваться как параллельные. И когда мы говорим о нескольких степенях бесконечного или бесконечно малого, то это то же самое, что рассматривать земной шар как точку по отношению к расстоянию до звёзд, а мяч, который мы держим в руке, можно так же рассматривать как точку по отношению к радиусу земного шара, таким образом, что расстояние до звёзд представляет собой как бы бесконечную бесконечность по отношению к диаметру мяча. Ибо вместо бесконечного или бесконечно малого можно взять величины столь большие или столь малые, какие могут потребоваться для того, чтобы полученная погрешность была меньшей, чем заданная погрешность, и она будет отличаться от определения Архимеда только выражением, которое в нашем методе более непосредственно и более согласно с искусством изобретательства"5.

5 "M?moire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul differentiel", в: Journal de Tr?voux, 1701.

Лейбницу неизменно указывали, что каким бы малым ни был земной шар по отношению к звёздному миру или песчинка по отношению к земному шару, они всё же являются постоянными и определёнными величинами, и если одна из этих величин будет рассматриваться как практически ничтожная по сравнению с другой, это всё-таки будет только простым приближением; он отвечал, что только желал "избежать экивоков" и "сделать аргументацию наглядной для всех"6, что полностью подтверждает наш взгляд на его аргументацию*, и что, более того, также является проявлением той тенденции "популяризации", которая распространена среди учёных модерна. Что поразительнее всего, это то, что после этого он пишет: "Во всяком случае, я не давал ни малейшего повода кому-либо думать, что я в самом деле подразумевал крайне малые, но всегда постоянные и определённые величины", и добавляет к этому: "Кроме того, я уже писал несколько лет назад Бернулли, что бесконечные и бесконечно малые могут рассматриваться как фикции, наподобие мнимых корней7, без всякого вреда для нашего исчисления, поскольку эти фикции удобоприменяемы и укоренены в реальности"8. Вместе с тем, он, похоже, так в точности и не понял, в каком отношении его сравнение страдало некорректностью, поскольку он привёл его снова в тех же выражениях около десяти лет спустя9; однако, во всяком случае, поскольку он явно заявил, что не намеревался рассматривать бесконечно малые величины как определённые, из этого нужно заключить, что в его понимании значение приведённого сравнения сводится к следующему: песчинка, хотя и не бесконечно малая, может тем не менее без ощутимого ущерба, считаться таковой по отношению к земному шару, и поэтому нет необходимости рассматривать бесконечно малые "строго" – они даже могут, если угодно, считаться чистейшими фикциями; однако, при любом способе рассмотрения, такое соображение тем не менее явно не может дать иного представления об исчислении бесконечно малых кроме как об идее простого приближённого вычисления, что, несомненно, было бы недостаточным с точки зрения самого Лейбница.

6 Письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

* Скорее Лейбниц имел здесь в виду проблематику перспективы, т.е. близости-дальности рассматриваемого объекта, его видимости и, соответственно, характера восприятия наблюдателем. О связи проблематики перспективы с проблематикой дискретного-континуального см. напр.: В.Г. Лысенко. "Философия природы" в Индии: атомизм школы вайшешика. Москва: Наука, 1986. с. 116-120; В.П. Зубов, указ. соч., с. 94. (прим. перев.)

7 Мнимыми корнями называются корни из отрицательных чисел; на вопросе отрицательных чисел и логических проблем, возникающих в связи с ними, мы остановимся позже.

8 Письмо Вариньону от 14 апреля 1702 года.

9 M?moire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

Глава 6.

"Прочно укоренённые фикции".

Наиболее характерная для Лейбница мысль, хотя он не всегда утверждал её с одинаковой силой и порой, кажется, весьма неохотно выносил в её отношении категорические формулировки, состоит по сути в том, что бесконечные и бесконечно малые величины являются всего лишь фикциями; однако при этом он добавляет, что это "прочно укоренённые фикции", и этим он не просто имеет в виду, что они удобны для вычислений1 или даже для "нахождения реальных истин", хотя иногда он также настаивает и на таковой удобности; но он постоянно повторяет, что эти фикции "укоренены в реальности", что они fundamentum in re, что, очевидно, подразумевает нечто больше, нежели просто утилитарную ценность; и для него сама такая ценность объясняется всё же укоренённостью этих фикций в реальности. В любом случае, Лейбниц считает, что для оправдания надёжности его метода достаточно рассматривать не бесконечные или бесконечно малые величины в строгом смысле слова, поскольку они не имеют соответствия в реальности, а только величины, большие или малые настолько, насколько нужно исследователю или насколько необходимо для получения погрешности меньше некоторой заданной величины. Тем не менее необходимо выяснить, верно ли то, что, как он заявляет, вышеозначенная погрешность таким образом становится ничтожной, то есть что такое понимание исчисления бесконечно малых обеспечивает совершенную строгость его принципов, но мы вернёмся к этому вопросу позже. Как бы то ни было в отношении последнего пункта, для Лейбница утверждения касательно бесконечных и бесконечно малых величин подпадают под категорию утверждений, которые, согласно ему, являются только toleranter verae (приемлемо истинными) или "приемлемыми" и должны быть "восстановлены" некоторым пояснением, как в случае рассмотрения отрицательных величин как "меньших нуля" или в ряде других случаев, в которых язык геометрии подразумевает "в определённой степени образную и таинственную манеру речи"2; слово "таинственный" могло бы показаться отсылкой к глубинному символическому смыслу геометрии, но Лейбниц имел в виду вовсе не это, и, вероятно, как это часто с ним случалось, говоря так, он выражал только некие смутные остатки некоторых эзотерических знаний, в той или иной мере усвоенных.

1 В этом соображении практической полезности находил достаточное оправдание Карно; очевидно, что за время от Лейбница до Карно "прагматическая" тенденция науки модерна стала намного более гласной.

2 M?moire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

Что касается смысла, в котором следует понимать утверждение, что бесконечно малые величины являются "прочно укоренёнными фикциями", Лейбниц заявлял, что "бесконечные и бесконечно малые укоренены таким образом, что в области геометрии и даже в природе их можно рассматривать как совершенно реальные"3; в самом деле, для него всё, существующее в природе, некоторым образом подразумевает понятие бесконечного или, по крайней мере, того, что он понимал под бесконечным. Как он говорил, "высшая ступень трансцендентального анализа или геометрии, подразумевающая рассмотрение какого-либо бесконечного, будет, несомненно, тем более важной вследствие своих применений к процессам природы, которая являет бесконечное во всех своих проявлениях"4; но, пожалуй, это так только по причине нашей невозможности составить адекватное представление о природе и потому, что она всегда являет элементы, которые мы не можем воспринять с полной отчётливостью. Если согласиться с этим соображением, тогда не следует слишком буквально воспринимать такие утверждения, как, например, следующее: "Поскольку наш метод относится, собственно, к тому разделу математики, который занимается бесконечным, он будет весьма полезен в приложениях математики к физике, ибо в процессах природы, как правило, проявляются качества её беспредельного Творца"5. Но даже если этим Лейбниц подразумевает, что сложность вещей природы далеко превосходит пределы отчётливого восприятия, тем не менее остаётся в силе то его соображение, что бесконечные и бесконечно малые величины должны быть fundamentum in re (укоренены в реальности, в вещах), и эта укоренённость обнаруживается в природе вещей, по крайней мере, в его понимании, и представляет собой не что иное, как то, что он называет "принципом континуальности" (к рассмотрению которого мы обратимся позже), который он считает (обоснованно или необоснованно), коротко говоря, только частным случаем некоего "принципа справедливости", который в конечном счёте связан с идеей порядка и гармонии и который также выражается во всех случаях симметрии, как, например, в случаях комбинаций и упорядочений.

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, 1693 г.

5 "Considerations sur la diff?rence qu'il y a entre l'Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes", в: Journal des S?avans, 1694.

Итак, если бесконечные и бесконечно малые величины представляют собой только фикции, даже если признать, что они действительно являются "прочно укоренёнными", можно задаться вопросом: зачем употреблять такие выражения, которые, даже если их рассматривать как toleranter verae (приемлемо истинные), всё же являются некорректными? Здесь уже, можно сказать, имеет место предзнаменование дурного "конвенционализма" науки модерна, хотя с той заметной разницей, что эта последняя уже никоим образом не интересуется, являются ли фикции, которыми она оперирует, "прочно укоренёнными" или нет, или, согласно другому выражению Лейбница, могут ли они быть поняты sano sensu (разумным образом), и даже имеют ли они смысл вовсе. Вместе с тем, поскольку можно обойтись без этих фиктивных величин и довольствоваться рассмотрением вместо них величин, просто задаваемых столь большими или столь малыми, сколь угодно исследователю, и которые по этой причине могут называться неопределённо большими или неопределённо малыми, несомненно, было бы лучше сделать так с самого начала и таким образом избежать введения фикций, которые, какой бы ни была их fundamentum in re, не имеют, в конечном итоге, практической ценности не только применительно к вычислениям, но даже применительно к собственно методу бесконечно малых. Выражения "неопределённо большая" и "неопределённо малая" или – что то же самое, но, пожалуй, точнее – "неопределённо возрастающая" и "неопределённо убывающая" не только явно являются единственными подходящими по причине своей строгой точности – они также чётко указывают, что обозначаемые ими величины могут быть исключительно переменными, а не постоянными величинами. Как верно заметил один математик, "бесконечно малое не представляет собой весьма малую величину, имеющую действительное значение, которое может быть найдено; его характер заключается в том, чтобы быть в высшей степени переменным и способным принимать значение, меньшее, чем любое другое, которое можно задать; поэтому намного лучше было бы называть его неопределённо малым"6.

6 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinit?simale, с. 21-22. Автор добавляет: "Но поскольку первое выражение ["бесконечно малые"] прижилось в языке, мы считаем, что оно должно остаться". Эти сомнения, очевидно, являются абсолютно излишними, ибо словоупотребление не является достаточным основанием для оправдания ошибок и неправильностей языка, и если не подняться над злоупотреблениями такого рода, невозможно даже пытаться внести в термины большую точность и ясность, чем уже имеющиеся в привычном словоупотреблении.

Употребление этих терминов предотвратило бы многие проблемы и прения, и в этом нет ничего удивительного, поскольку дело не просто в проблеме слов, а в замене ошибочной идеи верной, фикции – реальностью; очевидно, такой шаг не позволил бы рассматривать бесконечно малые величины в качестве постоянных и определённых, ибо, как мы заметили выше, слово "неопределённый" всегда содержит идею "превращения" и, соответственно, изменения или, в случае величин, переменности; и возымей Лейбниц привычку к употреблению этих терминов, он, несомненно, не был бы столь легко увлечён столь неудачным сравнением с песчинкой. Кроме того, сведение infinite parva ad indefinite parva (бесконечно малых к неопределённо малым) в любом случае было бы более корректным, чем сведение их ad incomparabiliter parva (к несравнимо малым); этим достигалась бы строгость рассуждений без какой-либо потери точности. Бесконечно малые величины, конечно, "не сравнимы" с обычными величинами, но это можно понимать не только однозначно, и, в самом деле, это выражение зачастую понимали не в том смысле, который был в него заложен. Лучше сказать, что они "неопределимы", используя ещё одно выражение Лейбница, ибо кажется, что этот термин может быть понят с полной строгостью только в отношении величин, которые способны принимать столь малое значение, сколь угодно исследователю, то есть менее любой заданной величины, и для которых, соответственно, никоим образом нельзя "определить, приписать"* определённое значение, а это и есть в действительности смысл indefinite parva (неопределённо малых). К сожалению, практически невозможно выяснить, являются ли, по мысли Лейбница, "несравнимые" и "неопределимые" корректными и полными синонимами; но, в любом случае, как минимум ясно то, что действительно "неопределимая" величина посредством подразумеваемой ею способности неопределённого убывания будет в силу этого "несравнимой" с любой заданной величиной, и, если распространить эту мысль на разные уровни бесконечно малых, даже с любой величиной, по отношению к которой она неопределённо убывает, если последняя рассматривается как обладающая хотя бы относительным постоянством.

* assign – "приписать, присвоить, определить"; assignable переводим как "определимые" (прим. перев.)

Если есть такой пункт, в отношении которого существует общее единодушие, даже без глубокого рассмотрения вопросов принципиальных оснований, то это то, что понятие неопределённо малого, по крайней мере, с чисто математической точки зрения, является совершенно достаточным для анализа бесконечно малых, и это без особого труда признают сами "инфинитисты"7. В этом отношении можно, следовательно, довольствоваться таким определением, как данное Карно: "Что такое бесконечно малая величина в математике? Не что иное, как величина, которая может быть задана столь малой, сколь угодно исследователю, без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми исследователь её сравнивает"8. Но что касается истинного смысла бесконечно малых величин, весь вопрос не сводится только к этому; для исчисления неважно, что бесконечно малые являются только фикциями, поскольку можно довольствоваться понятием неопределённо малых, не вызывающим логических проблем; к тому же, поскольку по соображениям метафизического характера, изложенным в начале данной работы, невозможно признать существование количественного бесконечного, как бесконечно большого, так и бесконечно малого9, или вообще любого бесконечного определённого и относительного порядка, вполне ясно, что бесконечно малые могут быть только фикциями и ничем более; но если (на законных или незаконных основаниях) эти фикции были изначально введены в исчисление бесконечно малых, это значит, что, по мысли Лейбница, они тем не менее чему-то соответствуют, каким бы некорректным ни был способ выражения их природы. Поскольку мы заинтересованы в рассмотрении принципов, а не просто метода вычислений (который для нас не представляет интереса), мы должны задаться вопросом, в чём в точности состоит ценность этих фикций, не только с логической, но также и с онтологической точки зрения, являются ли они столь "прочно укоренёнными", как считал Лейбниц, и можем ли вместе с ним сказать, что они toleranter verae (приемлемо истинны), и как минимум принимать их как таковые modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом). Для ответа на эти вопросы необходимо более пристально рассмотреть его концепцию "принципа континуальности", ибо именно в нём он намеревался обнаружить fundamentum in re бесконечно малых.

7 См. особенно Л. Кутюра: De l'infini math?matique, с. 265, прим.: "Можно логическим образом вывести исчисление бесконечно малых только из одного понятия неопределённого…". Правда, выражение "логическим образом" здесь является оговоркой, так как у автора это понятие противопоставляется понятию "рациональным образом" (что представляет собой довольно странную терминологию); тем не менее само высказывание примечательно.

8 R?flexions sur la M?taphysique du Calcul infinit?simal, с. 7, прим.; ср.: там же, с. 20. Название работы едва ли оправдывает себя, поскольку в действительности в ней не обнаруживается ни одной идеи метафизического порядка.

9 Чрезмерно расхваленная концепция "двух бесконечностей" Паскаля является метафизическим абсурдом, проистекающим опять-таки исключительно из смешения бесконечного и неопределённого, взятого как возрастающая и убывающая величина.

Глава 7.

"Степени бесконечности".

По ходу предыдущего изложения у нас ещё не было возможности рассмотреть все недоразумения, которые неизбежно возникают при оперировании идеей бесконечного в иных смыслах кроме её единственного истинного и собственно метафизического смысла. Многие примеры такого рода обнаруживаются в первую очередь в длительных прениях Лейбница с Иоганном Бернулли по поводу реальности бесконечных и бесконечно малых величин, которые, при этом, так и не завершились окончательным разрешением; они и не могли им завершиться ввиду постоянной путаницы обеих сторон в определениях и отсутствия принципиальных оснований, из которых и происходила эта путаница; вместе с тем, какого бы порядка идеи ни рассматривались, в конечном счёте всегда именно отсутствие принципиальных оснований приводит к неразрешимости рассматриваемых вопросов. Вероятно, многие будут поражены, среди прочего, тем фактом, что Лейбниц различал "бесконечное" и "беспредельное" и, таким образом, не отвергал категорически идею (тем не менее явно противоречивую) "предельного бесконечного" и даже доходил до того, чтобы задаваться вопросом: "может ли быть возможным существование, например, бесконечной прямой линии, которая тем не менее оканчивается на обоих концах"1. Он, без сомнения, не склонялся к положительному ответу на этот вопрос, "тем более что, поскольку мне кажется, – говорит он в другом письме, – что бесконечное, в строгом смысле, должно иметь источником беспредельное, без которого я не вижу способа найти твёрдое основание для отличения его от конечного"2. Но даже если сформулировать это соображение более категорично (чего Лейбниц не сделал) и сказать, что "бесконечное имеет своим источником беспредельное", всё равно эти два понятия не будут рассматриваться как полностью идентичные, но скорее как в некоторой степени отличные друг от друга; и это чревато риском порождения целого набора причудливых и противоречивых идей. Правда, Лейбниц заявляет, что он может признать эти идеи только "в свете бесспорных аргументов", но этого уже достаточно, чтобы приписать им некоторую степень значимости и даже чтобы рассматривать их уже не как абсолютно невозможные. Что касается идеи некоторого рода "предельной вечности" (если взять один из тех примеров, которые Лейбниц выдвигает в этой связи), мы видим в ней только продукт смешения понятий вечности и длительности, что абсолютно неправомерно в области метафизики. Мы вполне можем допустить, что время, в течение которого мы проживаем нашу телесную жизнь, действительно является неопределённым – что никоим образом не противоречит идее его "конечности с обоих концов", то есть признанию, в соответствии с традиционной концепцией циклов, наличия у него начала и конца; мы также готовы допустить наличие других модусов длительности, таких как те, которые у схоластов именовались aevum, неопределённость которых, если можно так выразиться, неопределённо превосходит неопределённость нашего времени; но все эти модусы во всех их возможных объёмах тем не менее являются всё же только неопределёнными, поскольку тому или иному состоянию всегда соответствуют некоторые присущие ему конкретные условия существования; и, именно поскольку каждый из таких модусов являет собой род длительности – подразумевающей последовательность – ни один из них не может быть отождествлён с вечностью или уподоблен вечности (с которой они имеют не больше связи, чем конечное какого бы то ни было модуса), ни также истинному Бесконечному, ибо понятие относительной вечности имеет не больше смысла, чем понятие относительного бесконечного. Во всех таких модусах существуют только различные порядки неопределённости, как мы более подробно покажем далее, однако Лейбниц, не проведя необходимых и существенных различий и, что самое главное, не изложив прежде всего того принципа, который позволил бы ему не сбиться с пути, затруднился опровергнуть мнения Бернулли; в самом деле, ответы Лейбница быль столь двусмысленными и нерешительными, что Бернулли даже посчитал его позицию по отношению к собственным идеям "бесконечности миров" и различных "степеней бесконечности" гораздо более близкой, чем она была на самом деле.

1 Письмо Иоганну Бернулли от 18 ноября 1698 года.

2 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

Упомянутая идея так называемых "степеней бесконечности" сводится вкратце к предположению, что могут существовать миры несравнимо большие или несравнимо меньшие, чем наш, соответствующие части которых находятся в равных пропорциях друг к другу, так что жители любого из этих миров будут иметь столько же оснований считать свой мир бесконечным, как мы свой (мы бы, со своей стороны, сказали, что они будут иметь столь же мало таких оснований). Такая точка зрения не была бы априори абсурдной, если бы в неё не была введена идея бесконечного, которая, конечно, ничего не обосновывает, ибо сколь бы большими ни воображать эти миры, каждый из них всё же является ограниченным; как же они могут называться бесконечными? Истина заключается в том, что ни один из них не может быть бесконечным, хотя бы потому что они понимаются как множественные, так как здесь мы возвращаемся к противоречию множественности бесконечного; и, кроме того, хотя иногда некоторые или даже многие считают наш мир бесконечным, тем не менее это утверждение не имеет приемлемого смысла. Более того, можно задаться вопросом, будут ли такие миры являться различными мирами, а не, скажем, более или менее протяжёнными частями одного мира, поскольку все они по определению должны подчиняться одинаковым условиям существования – в первую очередь, очевидно, пространственности – и просто быть развёрнутыми в большем или меньшем масштабе. В совершенно ином смысле можно корректно говорить не о бесконечности, а о неопределённости миров, поскольку помимо условий существования (таких как пространство и время), свойственных нашему миру, рассмотренному во всех его возможных проявлениях, существует неопределённое количество других, равным образом возможных; мир или, иначе говоря, состояние существования, таким образом, определяется совокупностью условий, которым он подчинён; но в силу самого того факта, что он всегда является обусловленным, то есть определённым и ограниченным, и, следовательно, неспособным вмещать все возможности, он никак не может считаться бесконечным, но только неопределённым3.

3 По этому вопросу см.: Множественность состояний сущего. 

По существу дела, рассмотрение различных "миров" в смысле Бернулли, несравнимо больших или меньших друг друга, не слишком отличается от того соображения, к которому Лейбниц прибегал, когда рассматривал "небосвод по отношению к земному шару и земной шар по отношению к песчинке", а песчинку по отношению к "частичке магнитного вещества, проходящей сквозь линзу". Просто у Лейбница нет притязаний на gradus infinitatis (степени бесконечности) в строгом смысле; напротив, он даже стремится показать, что "не следует брать бесконечное в строгом смысле", и довольствуется рассмотрением "несравнимых", против которых нет возражений логического характера. Недостаток его сравнения совсем другого характера и, как мы уже сказали, заключается в том, что даёт неточное и даже совершенно ошибочное представление о бесконечно малых, фигурирующих в его исчислении. По ходу дальнейшего изложения у нас будет возможность заменить это представление идеей подлинных множественных степеней неопределённости, выступающих как в возрастающем, так и в убывающем порядке; поэтому сейчас мы не будем на этом останавливаться.

Коротко говоря, разница между Бернулли и Лейбницем состоит в том, что для Бернулли, хотя он и предлагает свои "степени бесконечности" только в качестве вероятной гипотезы, они действительно являются предметом рассмотрения, в то время как Лейбниц, сомневаясь в правдоподобии и даже возможности этой идеи, ограничивается тем, что заменяет их, так сказать, "степенями несравнимости". Помимо этой разницы, которая, вместе с тем, является, несомненно, крайне важной, общим у них является представление о ряде миров, обнаруживающих подобие, но на разных уровнях. Это представление имеет некоторую несистематическую связь с открытиями, произведёнными в то время с помощью микроскопа, и с определёнными взглядами, появившимися в этой связи, – хотя последующие изыскания ни в коей мере не подтвердили их истинность – такими, как теория "капсуляции эмбрионов"; позже было выяснено, что неверным является взгляд, будто каждая часть организма эмбриона фактически и физически "формируется заранее", и что структура клетки не имеет сходства со структурой всего организма, элементом которого является. Можно без сомнения утверждать, что именно теории такого рода были, так или иначе, отправной точкой представлений Бернулли; в самом деле, среди прочих высказываний, крайне важных в этом отношении, он утверждает, что частицы тела сосуществуют в целом "так же, как, согласно Гарвею и другим, но не согласно Левенгуку, внутри животного существуют бесчисленные клетки, внутри каждой клетки один или несколько микроорганизмов, внутри каждого микроорганизма снова бесчисленные клетки, и так далее до бесконечности"4. Что касается Лейбница, кажется, он исходил из совсем другой отправной точки; так, представление о том, что все видимые звёзды могут быть только составными частями тела несравненно большего существа, напоминает каббалистическое представление о "Великом Человеке", но претворённое и, так сказать, "положенное в пространстве" весьма странным образом, посредством пренебрежения истинным аналогическим значением традиционного символизма; схожим образом, представление о продолжении материального существования живого существа "в миниатюре" после смерти, очевидно, навеяно традиционной иудейской концепцией "луза" или "зерна бессмертия"5, которую Лейбниц также исказил, связав её с представлением о мирах, несравненно меньших нашего, когда писал: "ничто не мешает живым существам переместиться в такие миры после смерти; в самом деле, я думаю, что смерть – это не более чем свёртывание живого существа, также как рождение – это просто развёртывание"6, причём последнее слово употреблялось просто в смысле "роста". Всё это, по существу дела, являет собой только пример тех опасностей, которые появляются при намерении согласовать идеи традиции со взглядами профанной науки, что может быть произведено единственно в ущерб первой; совершенно очевидно, что эти идеи являются совершенно независимыми от теорий, порождаемых исследованиями с применением микроскопа, и, сопоставляя и смешивая их, Лейбниц действовал таким же образом, как позже действовали оккультисты, которые были особенно неравнодушны к такого рода необоснованным сопоставлениям. Вместе с тем, возможность наложения "несравнимых" разных уровней казалось ему согласной с его идеей "лучшего из миров", что давало ему возможность придать этому миру "столько бытия или реальности, сколько возможно", говоря словами его определения; и, как мы уже указывали в другой работе7, эта идея "лучшего из миров" также происходит из ещё одной неверно понятой традиционной доктрины, заимствованной из символической геометрии пифагорейцев. Согласно этой геометрии, из всех линий одинаковой длины окружность заключает в себе наибольшую площадь, а из всех тел одинаковой площади поверхности шар, подобным образом, заключает максимальный объём, и это одна из причин, почему эти фигуры рассматривались как наиболее совершенные. Однако, если в этом отношении существует максимум, то тем не менее не существует минимума, то есть не существует фигур, заключающих площадь или объём меньший, чем у всех других, и по этой причине Лейбниц склонялся к мысли, что, хотя существует "лучший из миров", но не существует "худшего из миров", то есть мира, содержащего меньше бытия, чем любой другой возможный мир. Вместе с тем, известно, что эта идея "лучшего из миров", как и идея "несравнимых", связана с его хорошо известными сравнениями, такими как "сад полный деревьев" или "пруд, полный рыбы", где "каждая ветка, каждый член животного, каждая капля его отправлений содержит в себе снова такой же сад и такой же пруд"8; и это естественным образом подводит нас к следующему связанному с этой проблемой вопросу, к вопросу "бесконечной делимости материи".

4 Письмо от 23 июля 1698 года.

5 См.: Царь мира, гл. 7.

6 Ранее цит. письмо к Иоганну Бернулли от 18 ноября 1698 года.

7 Символизм креста, гл. 6. По поводу различия "возможных" и "совозможных", с которыми связана идея "лучшего из миров", см.: Множественность состояний сущего, гл. 2.

8 Монадология, гл. 67; ср.: там же, гл. 74.

Глава 8.

"Бесконечное деление" или неопределённая делимость.

С точки зрения Лейбница, делима не только материя, но все её части "актуально делимы всё дальше без конца, <…> каждая часть на другие части, из которых каждая делима"1; он подчёркивает это прежде всего для того, чтобы обеспечить теоретическую поддержку недавно рассмотренной нами концепции: "Из возможности актуального разделения следует, что в каждой части вещества, какой бы малой она ни была, существует как бы свой мир бесчисленных существ"2. Бернулли также предполагал возможность такого актуального деления материи in partes numero infinitas (на бесконечно многие части), но делает из этого выводы, которые не могут быть приняты Лейбницем: "Если конечное тело, – говорит он, – имеет бесконечные по числу части, то, как я всегда полагал и ныне полагаю, мельчайшие из этих частей должны находиться в неопределимом или бесконечно малом отношении к целому"3; на что Лейбниц отвечает: "Даже если согласиться, что не существует части материи, которая не может подвергнуться актуальному делению, тем не менее это не означает признание неделимых элементов или частиц, меньших всех остальных, или бесконечно малых частиц, но оставляет место только для соображений всё меньших частей, которые, однако, являются обычными величинами, точно так же, как при возрастании получаются всё большие величины"4. Таким образом, Лейбниц оспаривает существование именно minimae portiones (мельчайших частей) или "конечных элементов"; для Бернулли, напротив, кажется ясным, что актуальное деление подразумевает одновременное существование всех рассматриваемых элементов, так же как в случае "бесконечной" последовательности даны все составляющие её члены одновременно, что подразумевает существование terminus infinitesimus (бесконечного предела). Но для Лейбница существование такого предела является не менее противоречивым, чем существование "бесконечного числа", а понятие меньшего из чисел или fractio omnium infima (части, меньшей всех других) не менее абсурдным, чем понятие наибольшего из чисел. "Бесконечность" последовательности в его понимании характеризуется как раз невозможностью достижения конечного члена, и таким же образом материя не могла бы быть делимой "бесконечно", если бы это деление могло бы быть завершено и заканчиваться на "конечных элементах"; и дело не в том, что мы просто неспособны фактически достичь этих конечных элементов, как допускает Бернулли, а в том, что они не существуют в природе вовсе. Не существует неделимых телесных элементов или "атомов" в собственном смыле этого слова, так же как нет неделимых дробей, из которых нельзя было бы получить меньшие дроби, в числовом порядке, или – в геометрическом порядке – линейных элементов, которые нельзя разделить на меньшие элементы.

1 Монадология, 65.

2 Письмо к Иоганну Бернулли, между 12 и 22 июля 1698 года.

3 Ранее цит. письмо от 23 июля 1698 года.

4 Письмо от 29 июля 1698 года.

Во всех этих рассуждениях Лейбниц в основном употребляет слово "бесконечное" в точности в том же смысле, как когда он говорит о "бесконечной последовательности"; для него, говорить о любой последовательности (включая последовательность целых чисел), что она "бесконечна", не означает, что она должна заканчиваться неким terminus infinitesimus или "бесконечным числом", но означает, напротив, что она не должна иметь конечного члена, поскольку её члены plus quam numero designari possint (более чем исчислимы), то есть составляют множество, превосходящее всякое число. Подобным образом, если можно утверждать, что материя делима бесконечно, то по той причине, что любая из её частей, какой бы малой она ни была, всегда заключает в себе такое множество; иными словами, у материи нет partes minimae (мельчайших частей) или простейших элементов, она является по своей сущности составной: "Верно, что простейшие субстанции, то есть такие, которые не существуют посредством соединения, реально неделимы, но они нематериальны и представляют собой только принципы действия"5. Именно в смысле неисчислимого множества – а именно в этом смысле, как правило, выражается Лейбниц – идея так называемого бесконечного может быть приложена к материи, к геометрической протяжённости и вообще к континуальному (непрерывному)*, взятому в отношении к его структуре**; кроме того, этот смысл приложим не только исключительно к infinitum continuum (континуальному бесконечному), но также и к infinitum discretum (дискретному бесконечному), как мы видели на примерах множества всех чисел и "бесконечной последовательности". По этой причине Лейбниц мог сказать, что величина является бесконечной постольку, поскольку она является "неисчерпаемой", что означает, что "можно всегда взять величину столь малую, сколь угодно" и "будет верным, например, что 2 равняется 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …, что представляет собой бесконечную последовательность, составленную из всех дробей с числителем 1 и знаменателями, возрастающими с геометрической прогрессией с шагом в два, хотя берутся всегда только обычные числа, то есть никогда не вводится бесконечно малая дробь, то есть дробь с бесконечным числом в знаменателе"6. Вместе с тем, только что сказанное позволяет нам понять, как Лейбниц, хотя и утверждая, что бесконечное (в его понимании) не является целым, тем не менее мог применять эту идею бесконечного к континуальному (непрерывному): непрерывное множество, как, например, любое конкретное тело, действительно составляет целое, даже то, что мы выше назвали истинным целым, логически первичным по отношению к его частям и независимым от них, но очевидно, что оно всегда само по себе конечно; поэтому Лейбниц может назвать его бесконечным не в отношении целого, а только в отношении его частей, на которые оно может быть разделено, и только в той мере, в какой множество этих частей фактически превосходит любое определимое число. Это то, что может быть названо аналитической концепцией бесконечного, поскольку рассматриваемое здесь множество в действительности неисчерпаемо только в аналитическом смысле, как мы поясним далее.

5 Письмо Вариньону от 20 июня 1702 года.

* Взгляд на материю как континуальное (непрерывное) явление вряд ли может считаться метафизическим и отдаёт скорее грубым материализмом; во всяком случае, такой взгляд полностью противоречит взглядам мусульманской схоластики, считающей, что "непрерывность – свойство Бога, а отнюдь не мира и всех составляющих его вещей, ибо вещи вообще не обладают никакой постоянной природой" (В.В. Соколов. Средневековая философия. / 2-е изд. Москва, 2001. с. 161). Средневековые христианские финитисты также считали, что в мире самом по себе нет ничего континуального, "вся континуальность – от души" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 103-104). Возражения Генона против современного понятия "материи" см. далее. (прим. перев.)

** Применение термина "структура" к континууму достаточно спорно (см.: В.Н. Катасонов. Непрерывность и прерывность. // Новая философская энциклопедия. / в 4 тт. – т. 3. Москва, 2010; Прерывное и непрерывное. / редколл.: М.А. Парнюк и др. – Киев: Наукова думка, 1983. с. 21, 25). Скорее Генон имеет в виду возможности наблюдателя, исследователя по анализу, членению континуума, ибо "континуум" по определению подразумевает отсутствие структуры. В случае континуума можно говорить о "связи", "целостности", "однородности" как его принципе, но не о структуре. Понятие "структуры" применимо как раз к дискретному. (прим. перев.)

6 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

Если задаться вопросом о сути идеи "бесконечного деления", то следует признать, что, как и в случае с "бесконечным множеством", она содержит некоторую долю истины, хотя способ её изложения не может не давать повода для критики. Прежде всего, само собой разумеется, что, в соответствии со всем изложенным до сих пор, не может быть речи о бесконечном делении, но только о неопределённом делении; а с другой стороны, следует приложить эту идею не к материи вообще, что, пожалуй, не имеет смысла, а только к телам или к "материальным телам", если кто-то будет настаивать на обязательности термина "материя", несмотря на крайнюю туманность этого понятия и множество порождаемых им двусмысленностей7. На самом деле делимость относится собственно к протяжённости, а не к материи, как бы ни понимать эти термины, а смешиваться эти два понятия могут только в картезианской концепции, согласно которой природа тел заключается существенно и единственно в протяжённости – концепции, которую к тому же Лейбниц не признавал. Если, таким образом, все тела непременно делимы, то это по той причине, что они обладают протяжённостью, а не потому что они материальны. Следует снова напомнить, что протяжённость, принадлежа порядку обусловленного, не может быть бесконечной; вследствие этого она, очевидно, не может подразумевать наличие возможностей, обладающих большой степенью бесконечности, чем она сама; но поскольку делимость является качеством, свойственным природе протяжённости, её ограничения могут происходить только из самой этой природы; любая протяжённость всегда делима, и, таким образом, можно считать её делимость поистине неопределённой, при том что эта неопределённость обусловлена неопределённостью протяжённости. Следовательно, протяжённость как таковая не может состоять из неделимых элементов, ибо такие элементы должны были бы быть непротяжёнными, чтобы быть поистине неделимыми, а сумма непротяжённых элементов может составлять протяжённость не более, чем сумма нулей может составлять число; именно поэтому, как мы поясняли в другой работе8, точки не являются элементами или частями линии; подлинные линейные элементы всегда представляют собой расстояния между точками, которые являются только краями этих расстояний. Вместе с тем, сам Лейбниц придерживался такой точки зрения, и, согласно ему, именно в этой точке зрения заключается коренная разница между его методом бесконечно малых и "методом неделимых" Кавальери, а именно в том, что он не считает, что линия состоит из точек, поверхность из линий или объём из поверхностей: точки, линии и поверхности являются у него только границами или краями, а не составными частями. В самом деле, очевидно, что точка, помноженная на любую величину, не может дать длины, поскольку, строго говоря, точка имеет нулевую протяжённость по отношению к длине; истинные элементы величины всегда должны быть той же природы, что и сама величина, хотя и несравнимо меньшими: это соображение не оставляет места для "неделимых", и, более того, позволяет усмотреть в исчислении бесконечно малых некий принцип однородности, подразумевающий, что обычные величины и бесконечно малые величины различных порядков, хотя и несравнимые между собой, всё же являются величинами одного рода*.

7 По этому вопросу см.: Царство количества и знамения времени.

8 Символизм креста, гл. 16.

* Об "однородности" континуума см. напр.: В.Н. Катасонов, указ. соч.; Прерывное и непрерывное, с. 21. (прим. перев.)

С этой точки зрения можно также сказать, что часть, что бы она собой ни представляла, всегда сохраняет некоторую "однородность" или природное соответствие с целым, по крайней мере постольку, поскольку считается возможным воссоздание целого из частей посредством процедуры, сравнимой с процедурой составления арифметической суммы. Вместе с тем, это не означает отсутствия в реальности простых вещей, поскольку сложные вещи могут быть образованы начиная с их элементов абсолютно другим способом, нежели рассмотренный; но тогда, в сущности, эти элементы не будут являться собственно "частями", и, как указывал Лейбниц, они никоим образом не могут быть телесного порядка. Что действительно несомненно, так это то, что невозможно достичь простейших, то есть неделимых элементов без выхода за пределы такого особого состояния, как протяжённость; протяжённость не может быть разложена на такие элементы без того, чтобы перестать быть протяжённостью. Из этого непосредственно следует, что не существует неделимых телесных элементов, поскольку такое понятие подразумевало бы противоречие; ибо, в самом деле, такие элементы должны были бы не обладать протяжённостью, и тогда они не были бы телесными, поскольку понятие "телесный" по определению с необходимостью подразумевает протяжённость, хотя протяжённость и не составляет всей природы тел; таким образом, несмотря на все наши замечания в других отношениях, следует признать, что Лейбниц занимает совершенно правильную позицию в своём неприятии атомизма*.

 

* Генон, по непонятным причинам, довольно грубо и упрощённо излагает атомизм. В классическом метафизическом атомизме вообще нет речи о "составленности" (или "разлагаемости") протяжённости (длительности) на атомы, поскольку пространство (как и время, и движение) в атомизме считается акциденцией атомов. При этом сами по себе атомы не "образуют" протяжённости, длительности, т.е. вообще любой континуальности – которая образуется их сочетанием, "соединённостью", производимой волей Бога, которая является единственным основанием всякой длительности, т.е. континуальности (см.: А.В. Смирнов. Атомизм в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). Это весьма отличается от картины того "математического атомизма" (т.е. геометрической концепции "точечности"), который был распространён в геометрических построениях европейцев. У классических атомистов "неделимые" вообще являются метафизическими (а не физическими, вещественными) сущностями, метафизическими "точками", существующими за пределами как вещественности, так и континуальной ("математической") геометрии (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 97-98, 104). Это неприятие атомизма Геноном тем более удивительно, что пифагорейцы и платоники, которых Генон рекомендует как единственных в Европе носителей "сакральной математики", были последовательными атомистами, впрочем, "математического" толка (см.: Прерывное и непрерывное, с. 14, 22-25). (прим. перев.)

Но до сих пор мы говорили только о делимости, то есть о возможности деления; следует ли пойти дальше и, вместе с Лейбницем, признать возможность "актуального деления"? Эта идея также не лишена противоречия, ибо она сводится к предположению наличия полностью реализованного неопределённого, и ввиду этого противоречит самой природе неопределённости, которая, как мы уже указали, всегда представляет собой возможность в процессе развёртывания, следовательно, в принципе подразумевает нечто незавершённое, ещё вполне не реализованное. Вместе с тем, по сути, нет оснований делать такое предположение, ибо когда дано непрерывное множество, дано целое, а не части, на которые оно может быть разделено, и только наблюдатель делает заключение о возможности разделить это целое на части, которые могут быть сведены ко всё меньшим и меньшим, становясь меньше некоторой заданной величины, при условии, что деление продолжается достаточно долго; следовательно, по сути, именно наблюдатель полагает части, в той мере, в какой он осуществляет деление. Поэтому от необходимости рассмотрения "актуального деления" нас освобождает именно то различие, которое было прояснено нами ранее по поводу разных способов рассмотрения целого: непрерывное множество не является результатом частей, на которые оно может быть разделено, но напротив является независимым от них, и, следовательно, тот факт, что оно дано нам как целое, никоим образом не влечёт за собой актуальное существование этих частей*.

* О проблеме "всецелой разделённости" континуума см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 131 и след. (прим. перев.)

Подобным образом, если перейти на другую точку зрения и рассматривать дискретное, можно сказать, что если дана неопределённая числовая последовательность, это никоим образом не подразумевает отчётливую данность всех содержащихся в ней членов, что невозможно именно ввиду того, что она является неопределённой; в реальности, задать такую последовательность означает задать формулу, позволяющую вычислить член, занимающий определённое положение, или, собственно говоря, любое положение в данной последовательности9. Если бы Лейбниц дал такой ответ Бернулли, их дебаты по поводу существования terminus infinitesimus (бесконечного предела) могли бы сразу прекратиться; но он был неспособен дать такой ответ без логичного перехода к отказу от своей идеи "актуального деления", разве только он стал бы вовсе отрицать всякую связь между континуальными и дискретными модусами количества.

9 Ср. Л. Кутюра, De l'infini math?matique, с. 467: "Последовательность натуральных чисел задаётся единственно формулой её образования, как и вообще все другие бесконечные последовательности и ряды: как правило, для полного их определения достаточно некоторого вида рекуррентной формулы, так что их предел или сумма (если она существует) ввиду этого является вполне находимой <…>. Именно благодаря этой формуле образования последовательности натуральных чисел у нас существует представление о каждом целом числе, и в этом смысле они все заданы этой формулой". – Действительно, можно сказать, что общая формула, содержащая выражение n-го члена некоторой последовательности, потенциально и в неявном виде, хотя и не актуально и явно, содержит все члены этой последовательности, поскольку любой из них может быть получен из этой формулы приданием n того значения, которое соответствует положению, занимаемому этим членом в последовательности; однако, вопреки мысли Кутюра, это, очевидно, не то, что подразумевал Лейбниц, "когда он отстаивал идею актуальной бесконечности последовательности натуральных чисел".

Как бы то ни было, во всех случаях рассмотрения континуального именно в "отсутствии различия" его частей мы можем увидеть корень идеи бесконечного в понимании Лейбница, поскольку, как мы сказали ранее, эта идея всегда влечёт за собой некоторую долю путаницы; но это "отсутствие различия", далёкое от того, чтобы быть предпосылкой возможности реализованного разделения, наоборот, скорее выступает в качестве предпосылки его исключения, наряду с приведёнными нами только что вполне очевидными соображениями. Поэтому, даже если теория Лейбница верна в том отношении, что она противостоит атомизму, для полного соответствия истине она требует корректировки в другом отношении: понятие "бесконечного деления материи" должно быть заменено понятием "неопределённого деления протяжённости"; именно к этой краткой и наиболее точной формулировке сводятся в конечном итоге все изложенные нами здесь соображения.

Глава 9.

Неопределённо возрастающие и неопределённо убывающие.

Прежде чем продолжить рассмотрение вопросов, непосредственно связанных с континуальным, необходимо вернуться к сказанному ранее относительно несуществования fractio omnium infima (части, меньшей всех других), что позволит понять, каким образом соотношение или симметрия, существующая в некоторых отношениях между неопределённо возрастающими и неопределённо убывающими величинами, может быть выражена численно. Мы видели, что в области дискретного количества, в случае рассмотрения последовательности целых чисел, эти числа необходимо рассматривать как неопределённо возрастающие начиная с единицы, но, очевидно, речь не может идти о неопределённом убывании, поскольку единица в принципе неделима; если брать числа в убывающей последовательности, придётся остановиться на единице, то есть представление неопределённого целыми числами ограничено только одним направлением – направлением возрастания. С другой стороны, если рассматривать область континуальных величин, можно наряду с неопределённо возрастающими величинами рассматривать и неопределённо убывающие; это же применимо и к области дискретного количества, если для выражения данной возможности вводится понятие дробных чисел. В самом деле, можно рассматривать последовательность дробей, которая неопределённо убывает; то есть какой бы малой ни была дробь, всегда может быть образована ещё меньшая, и это убывание может достичь fractio minima (наименьшей дроби) не в большей степени, чем возрастание целых чисел может достичь numerus maximus (наибольшего числа).

Если использовать численное представление, чтобы наглядно изобразить соответствие между неопределённо возрастающим и неопределённо убывающим, достаточно рассмотреть последовательность целых чисел вместе с последовательностью обратных им чисел; число называется обратным другому, если их произведение равно единице, поэтому число, обратное числу n, обозначается как 1/n. Поскольку последовательность целых чисел неопределённо возрастает начиная с единицы, последовательность обратных им чисел неопределённо убывает начиная с той же единицы, которая является обратной самой себе и поэтому служит отправной точкой для обеих указанных последовательностей; каждому числу одной последовательности, таким образом, соответствует число в другой и наоборот, так что обе последовательности в равной степени неопределённы в точности одинаковым образом, хотя и в разных направлениях. Очевидно, что обратное некоторому числу число столь же мало, сколь первое велико, поскольку их произведение остаётся постоянным; каким бы большим ни было число n, число n+1 будет всё равно больше в силу самой формулы образования неопределённой последовательности целых чисел, и, точно так же, каким бы малым ни было число 1/n, число 1/(n+1) всё равно будет меньше; это явно показывает невозможность существования некоего "меньшего из всех чисел", сама идея которого является не менее противоречивой, чем идея "наибольшего из всех чисел", ибо, если невозможно остановиться на определённом числе в направлении возрастания, то, точно так же, невозможно остановиться на некотором числе и в направлении убывания. Вместе с тем, поскольку это соотношение, обнаруживаемое в области численной дискретности, является, прежде всего, следствием приложения этой дискретности к континуальному (как мы замечали, говоря о дробных числах, введение которых предполагается таковым приложением), оно может выражать только соотношение, существующее в своём роде внутри самого континуального между неопределённо возрастающим и неопределённо убывающим, которое с необходимостью обусловлено самой природой числа. Поэтому, всякий раз когда континуальные величины рассматриваются как способные принимать столь большие или столь малые значения, сколь угодно, то есть больше или меньше некоторой находимой величины, всегда можно наблюдать некоторую симметрию или, скажем так, параллелизм, выраженный этими двумя обратными видами переменности. Это замечание в дальнейшем поможет нам лучше понять возможность существования различных порядков бесконечно малых величин.

Следует указать, что, хотя запись 1/n ассоциируется с идеей дробных чисел и хотя она, бесспорно, фактически ведёт своё происхождение от них, не следует определять числа, обратные целым, как собственно дробные – ибо следует избегать проблемы, которую влечёт за собой обычное понятие дробных чисел со строго арифметической точки зрения, а именно понимания дробей как "частей единицы". На самом деле достаточно рассматривать две последовательности, состоящие из чисел, соответственно, больших и меньших единицы, как два порядка величин, имеющих общий предел в единице и в то же время имеющих начало в единице, которая поистине является источником всех чисел; более того, если рассматривать эти две последовательности как одну, можно сказать, что единица занимает в точности середину такой последовательности, поскольку, как мы видели, существует в точности столько же чисел в одной последовательности, как в другой. Вместе с тем, если обобщать дальше и вместо рассмотрения только последовательности целых чисел и обратных им ввести дробные числа в собственном смысле, в отношении симметрии возрастающих и убывающих чисел ничего не изменится: с одной стороны будут все числа большие единицы, а с другой стороны все числа меньшие единицы; в данном случае, опять-таки, каждому числу a/b > 1 будет соответствовать число b/a < 1 в другой группе, и наоборот, так что (a/b) (b/a) = 1, так же как в ранее приведённом примере было n (1/n) = 1, и, таким образом, будет в точности одинаковое количество членов в каждой из этих двух неопределённых групп, разделённых единицей; вместе с тем, следует понимать, что когда мы говорим "одинаковое количество членов", мы просто имеем в виду почленное соответствие рассматриваемых двух последовательностей, а не то, что они могут ввиду этого рассматриваться как "исчислимые". Любые два обратные друг другу числа при умножении дают единицу, из которой они производятся; более того, можно сказать, что единица, занимая срединное положение между двумя этими группами чисел и будучи единственным числом, которое можно рассматривать как принадлежащее им обеим1 – хотя в реальности было бы корректнее сказать, что оно скорее объединяет, а не разделяет их – соответствует состоянию совершенного равновесия и содержит в себе все числа, которые происходят из неё парами обратных или комплементарных чисел, при том что каждая такая пара в силу этой комплементарности составляет относительное единство в своей нераздельной двойственности2; но к этому соображению и проистекающим из него следствиям мы вернёмся несколько позже.

1 Согласно определению обратных чисел, единица появляется сначала в форме 1, затем ещё раз в форме 1/1, так что (1) (1/1) = 1; следовательно, единица является обратной самой себе.

2 Мы сказали "нераздельной", поскольку если существует одно из двух чисел такой пары, непременно в силу этого будет существовать и другое.

Вместо того чтобы определять ряд целых чисел как неопределённо возрастающий, а ряд обратных им чисел как неопределённо убывающий, можно также в том же смысле сказать, что числа, таким образом, стремятся, с одной стороны, к неопределённо большому, а с другой стороны, к неопределённо малому, при условии, что под ними мы понимаем действительные пределы области, в которой рассматриваются эти числа, ибо переменная величина может стремиться только к пределу. Рассматриваемая область является, коротко говоря, областью численных величин, взятой во всём возможном объёме3; это, в свою очередь, равнозначно утверждению, что её пределы ограничены не таким-то и таким-то конкретным числом, каким бы большим или малым его ни считать, а самой природой числа как такового. В силу самого того факта, что число, как и все другие явления обусловленной природы, исключает всё, чем оно не является, здесь не может идти речи о бесконечном; вместе с тем, мы только что сказали, что неопределённо большое должно непременно рассматриваться как предел, хотя он ни в коем случае не является terminus ultimus (конечным пределом) ряда чисел, и в этом отношении следует указать, что выражение "стремиться к бесконечности", часто употребляемое математиками в смысле "неопределённо возрастать", опять-таки является абсурдом, поскольку бесконечное с очевидностью подразумевает отсутствие пределов и, соответственно, отсутствие чего-либо, к чему можно стремиться. Что также достаточно примечательно, это то, что некоторые математики, хоть и признавая некорректный и неадекватный характер выражения "стремиться к бесконечности", с другой стороны, безо всяких колебаний принимают выражение "стремиться к нулю" в смысле "неопределённо убывать"; однако нуль или "нулевая величина" представляет собой по отношению к убывающим величинам то же самое, что так называемое "количественное бесконечное" по отношению к возрастающим величинам; но к этим вопросам мы обратимся позже, в частности, когда будем рассматривать вопрос нуля и его различных значений.

3 Само собой разумеется, что несоизмеримые (иррациональные) числа, в плане их величины, с необходимостью рассеяны среди обычных чисел, целых или дробных, в зависимости от того, больше или меньше они единицы; это, вместе с тем, указывает на то соответствие геометрического характера, которое мы отмечали ранее, а также на возможность определения такого числа посредством двух сходящихся рядов соизмеримых чисел, общим пределом которых оно является.

Поскольку последовательность чисел в своей целокупности не "ограничивается" некоторым числом, следовательно, не существует сколь бы то ни было большого числа, которое могло бы пониматься как неопределённо большое в собственном смысле; и, естественно, то же самое верно в отношении неопределённо малых чисел. Можно только рассматривать некоторое число как практически неопределённое, если так можно выразиться, когда оно не может быть выражено средствами языка или письма, что, в сущности, неминуемо происходит при рассмотрении постоянно возрастающих и убывающих чисел; здесь имеет место частный случай, так сказать, "перспективы", но в целом, даже это находится в соответствии с характером неопределённого, поскольку неопределённое, в конечном счёте, это не что иное, как то, пределы чего могут быть не устранены (что противоречило бы самой природе вещей), но отстранены до такой степени, что они будут полностью потеряны из виду. В этом отношении можно рассмотреть достаточно любопытные вопросы; так, можно задаться вопросом, почему в китайском языке неопределённое символически выражается числом десять тысяч: например, выражение "десять тысяч существ" означает всех существ, которые в действительности составляют неопределённое или "неисчислимое" множество. Что довольно примечательно, это то, что в точности такая же ситуация существует в греческом языке*, где одно слово схожим образом одновременно означает оба указанных понятия, с разницей только в ударении, что, очевидно, является второстепенной мелочью, несомненно, вызванной только необходимостью различения узуса: ?????? – десять тысяч, и ?????? – неопределённое количество. Подлинная причина этого явления заключается в следующем: число десять тысяч представляет собой четвёртую степень десяти; а согласно формулировкам книги Дао дэ цзин: "один производит два, два производит три, а три производит все числа", что означает, что четыре, число, следующее сразу числом три, в некотором роде равнозначно всему ряду чисел, по той причине что, когда есть четвёрка, складывая первые четыре числа, можно получить десятку, которая символизирует полный числовой цикл: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, что, как мы уже упоминали ранее, представляет собой числовую формулу пифагорейской тетрактиды (четверицы). Можно добавить, что это представление численной неопределённости имеет соответствие на уровне пространства: общеизвестно, что повышение степени числа на один порядок соответствует в пространстве добавлению измерения; а поскольку наше пространство имеет три измерения, выход на уровень выше третьей степени означает выход за его границы, что, иными словами, равнозначно тому, что возведение в четвёртую степень кладёт предел его неопределённости, поскольку, когда мы производим такое возведение, этим самым мы выходим за рамки пространства и переходим к другому уровню возможностей.

* Ср. древнерусское "тьма" в значении десять тысяч. (прим. перев.)

Глава 10.

Бесконечное и континуальное.

Идея бесконечного в понимании Лейбница (которая была, напомним, всего лишь идеей множества, превосходящего всякое число) иногда выступает в виде "дискретного бесконечного", как в случае с так называемыми бесконечными числовыми последовательностями; но наиболее привычным её видом и также наиболее важным, в плане значения для исчисления бесконечно малых, является "континуальное бесконечное". В этом отношении следует напомнить, что, когда Лейбниц, приступая к своим исследованиям (которые, по его словам, должны были привести к открытию его метода), работал с последовательностями чисел, он сперва рассматривал только разницы, являющиеся "конечными" в обычном смысле этого слова; бесконечно малые разницы он рассматривал только когда вставал вопрос приложения числовой дискретности к пространственному континууму. Поэтому введение дифференциалов было оправдано наблюдением некоторой аналогии между соответствующими типами переменности в двух этих модусах величин; но бесконечно малый характер этих разниц проистекал из континуальности величин, к которым они должны были прилагаться, и, таким образом, для Лейбница понятие "бесконечно малого" было тесно связано с понятием "структуры континуума".

В "строгом" смысле, "бесконечно малые" должны представлять собой partes minimae (мельчайшие части) континуального, как думал Бернулли; но очевидно, что континуальное, поскольку оно существует как таковое, всегда делимо и, следовательно, не может иметь partes minimae. Равным образом, о "неделимых" нельзя сказать, что они являются частями того, по отношению к чему они неделимы, и "минимум" может пониматься здесь только как предел или край, а не как элемент: "Линия не только меньше любой плоскости, – писал Лейбниц, – она даже не является частью плоскости, а всего лишь минимумом или краем"1; и, с его точки зрения, это слияние понятий "края" и "минимума" может быть обосновано "принципом континуальности" в том смысле, что, согласно Лейбницу, этот принцип позволяет "переход к пределу", что мы подробно поясним далее. Как мы уже говорили, то же самое верно для точки по отношению к линии и для поверхности по отношению к объёму; с другой стороны, бесконечно малые элементы должны быть частями континуального, без которого они даже не могут быть величинами; и они могут быть величинами только при условии, что они не являются в действительности "бесконечно малыми", ибо тогда они были бы ничем иным, как partes minimae (мельчайшими частями) или "конечными элементами", само существование которых подразумевает противоречие в рамках континуального. Таким образом, сам характер континуального не позволяет бесконечно малым величинам быть чем-то иным, нежели просто фикциями; но с другой точки зрения, всё же именно существование этой континуальности делает их "прочно укоренёнными фикциями", по крайней мере, с точки зрения Лейбница: если "в области геометрии их можно рассматривать как совершенно реальные", то это по той причине, что протяжённость, которая является объектом геометрии, представляет собой континуальное явление; и если то же самое верно в случае природы вообще, то потому что тела также протяжённы, и потому что континуальность существует во всех явлениях, таких как движение, носителями которого являются тела, которые выступают объектами механики и физики. Вместе с тем, если тела непрерывны, то это потому, что они протяжённы и причастны природе протяжённости; и, подобным образом, континуальность движения, а также различных явлений, более или менее непосредственно с ним связанных, непосредственно происходит из его пространственного характера. Таким образом, континуальность протяжённости в конечном счёте представляет собой истинное основание всех иных видов континуальности, обнаруживаемых в телесной природе; и именно по этой причине мы, вводя существенное различие, не произведённое в этом отношении Лейбницем, подчеркнули, что в реальности следует приписывать свойство "бесконечной делимости" не "материи" как таковой, а протяжённости.

1 Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu in practica Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus substituendas (Новое рассуждение о природе углов касания и об их использовании в практической математике для замены сложных фигур более простыми), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1686.

Здесь излишне рассматривать вопрос других возможных форм континуальности, независимых от её пространственных форм; в самом деле, при рассмотрении величин всегда приходится возвращаться к континуальности пространства и рассмотрения этой континуальности вполне достаточно при любых операциях, имеющих отношение к бесконечно малым величинам. Тем не менее вместе с пространственной континуальностью следует рассматривать и континуальность времени, ибо, вопреки странному мнению Декарта по этому вопросу, время действительно непрерывно по своей природе*, а не только в связи со своим пространственным представлением в движении, используемым для его измерения2. В этом отношении можно сказать, что движение является как бы вдвойне континуальным, ибо оно континуально в силу как пространственной, так и временной обусловленности; и такой род сочетания пространства и времени, результатом которого является движение, не был бы возможен, если бы одно из них было дискретным, а другое континуальным. Это соображение также позволяет ввести континуальность в различные категории явлений природы, относящихся скорее ко времени, чем к пространству, хотя и происходящих в обеих этих сферах, как, например, любые процессы органического развития. Вместе с тем, в отношении структуры временного континуума следует повторить всё, сказанное ранее о структуре пространственного континуума, и в силу такого рода симметрии, существующей, как мы видели, между пространством и временем, следует прийти к точно таким же выводам, как и в случае пространственного континуума: мгновения, рассматриваемые как неделимые, могут быть частями длительности не в большей мере, чем точки частями протяжённости (что также признавал и Лейбниц), и это снова пример тезиса, достаточно хорошо известного схоластам; словом, общей характеристикой любого вида континуальности является исключение ею возможности существования "конечных элементов".

* Отрицание атомизма времени (и атомизма вообще) весьма странно для Генона как мусульманина и тем более суфия (см.: А.В. Смирнов. Время в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). (прим. перев.)

2 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 5.

Сказанное до сих пор в достаточной степени указывает, в каком смысле можно понимать то, что, с точки зрения Лейбница, континуальное с необходимостью заключает бесконечное; но, конечно, не следует рассматривать вопрос "актуальной бесконечности", как будто при данности целого фактически даны все возможные части; также не может идти речь и об истинной бесконечности, которую исключает любое определение или обусловленность и которая, следовательно, не может подразумеваться при рассмотрении какой-либо конкретной вещи. Однако в данном случае, как и во всех случаях, когда представлена идея мнимого бесконечного, отличная от идеи истинного метафизического Бесконечного, но при этом и не являющаяся сама по себе чистейшим абсурдом, любые противоречия, а с ними и проблемы логического порядка, исчезают при замене так называемого бесконечного неопределённым и при признании того простого факта, что всякая континуальность, взятая в отношении к её элементам, заключает некоторую неопределённость. Именно по причине непонимания этого фундаментального различия между Бесконечным и неопределённым некоторые ошибочно посчитали невозможным избежать противоречия обусловленного бесконечного кроме как путём отрицания континуального вовсе и замены его дискретным; так, Ренувье, который справедливо отвергал математическое бесконечное, но которому идея метафизического Бесконечного была вовсе чуждой, считал, что логика его "финитизма" позволяла ему зайти столь далеко, чтобы принимать атомизм, и, таким образом, он стал жертвой концепции не менее противоречивой, чем та, которой он желал избежать, как мы уже видели ранее.

Глава 11.

"Принцип континуальности".

Если существует континуум, мы можем вместе с Лейбницем сказать, что существует нечто континуальное в его природе или, иными словами, что должен существовать некий "принцип континуальности" (или "принцип непрерывности"), применимый ко всему, имеющему характер континуального; это достаточно очевидно, но из этого ни в коем случае не следует, что такой принцип должен быть применим ко всему абсолютно, как утверждает Лейбниц, ибо, если существует континуальное, то существует и дискретное, в том числе и в области количества1; в самом деле, число в сущности дискретно, и именно дискретное, а не континуальное количество является действительно первым и основным модусом количества, это то, что можно назвать чистым количеством, как мы уже говорили2. Вместе с тем, нельзя априори предполагать, что вне чистого количества повсеместно существует какого-либо рода континуальность, и, по правде говоря, было бы удивительным, если бы среди всех возможных явлений одно число обладало бы свойством быть существенно дискретным; но в наши намерения не входит определить пределы действия какого бы то ни было "принципа континуальности" или ограничения, которые должны применяться ко всем явлениям, выходящим за пределы области количества, понимаемой в самом общем смысле. Мы ограничимся одним весьма простым примером дискретности из области природных явлений: если, для того чтобы разорвать верёвку, следует приложить некоторое количество силы, и прилагается несколько меньшее количество силы, результатом будет не частичный разрыв, то есть разрыв некоторых частей нитей, из которых состоит верёвка, но только её растяжение, что существенно отличается от явления разрыва; если увеличивать силу непрерывным образом, растяжение также будет увеличиваться непрерывно, но наступит момент, когда произойдёт разрыв, и внезапно, как бы мгновенно будет иметь место результат, очевидно, иной природы, нежели предыдущий, явно заключающий в себе дискретность; и, таким образом, неверно говорить – в весьма общих словах и без каких-либо ограничений – что natura non facit saltus (природа не делает скачков).

1 Ср. Л. Кутюра, De l'infini math?matique, с. 140: "Вообще, принципу континуальности нет места в алгебре, и его нельзя применять для обоснования алгебраического обобщения идеи числа. Континуальность не только никоим образом не является необходимой для рассуждений общего арифметического порядка, но она противна самому духу этой науки и самой природе числа. В самом деле, число в сущности дискретно, как и почти все его арифметические свойства <…>. Поэтому нельзя навязывать континуальность алгебраическим функциям, какими бы сложными они ни были, поскольку целые числа, составляющие их элементы, являются дискретными, как бы "прыгающими" от одного значения к следующему без возможности какого-либо постепенного перехода".

2 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 11.

Как бы то ни было, во всяком случае достаточно признать, что геометрические величины являются континуальными (каковы они на самом деле), чтобы брать в них элементы сколь угодно малые, то есть элементы, способные становиться меньше любой определимой величины; и, как говорил Лейбниц, "несомненно, именно в этом состоит строгая аргументация исчисления бесконечно малых", что относилось именно к упомянутым геометрическим величинам. Таким образом, именно так называемый "принцип континуальности" Лейбница, может служить fundamentum in re (основанием укоренённости в реальности) таких фикций, как бесконечно малые величины, и, вместе с тем, также и таких фикций, как мнимые корни (поскольку Лейбниц в этом отношении связывал эти два понятия), но всё-таки нет необходимости видеть в нём "критерий всей истины", как, похоже, считал Лейбниц. К тому же, если признавать некоторый "принцип континуальности", хотя и при некоторых ограничениях его действия, и даже если признавать, что этот принцип может служить для обоснования основ исчисления бесконечно малых modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом), это никоим образом не означает, что его следует понимать таким же образом, как Лейбниц, или что следует принимать все следствия, которые Лейбниц из него вывел; именно это понимание и эти следствия мы сейчас рассмотрим более подробно.

В самом общем виде этот принцип сводится в конечном счёте к следующему (что Лейбниц утверждал неоднократно в разных выражениях, но всегда в принципиально одинаковом смысле): если есть некоторый порядок в отношении "принципов" (понимаемых в данном случае в относительном смысле как нечто, взятое в качестве отправной точки), всегда должен существовать соответствующий порядок проистекающих из них следствий. Как мы уже указывали, это является только частным случаем так называемого "принципа справедливости" или принципа, постулирующего "всеобщую постижимость". Для Лейбница этот принцип, по существу дела, является следствием применения "принципа достаточного основания", если не самим этим принципом в той мере, в какой он применим, в частности, к комбинациям и варьированиям величин. По его словам, "континуальное – это нечто идеальное [что, вместе с тем, весьма далеко от достаточно ясной формулировки]; но реальное всё же управляется идеальным или абстрактным <…> ибо всё управляется разумом"3. Конечно, существует некоторый порядок всего, что не подлежит никакому сомнению, но этот порядок может рассматриваться совсем иным образом, нежели у Лейбница, представления которого в этом отношении всегда более или менее непосредственно находились под воздействием его так называемого "принципа наилучшего", который теряет всякий смысл, как только осознаётся метафизическое тождество реального с возможным4; более того, хотя Лейбниц был заклятым врагом ущербного картезианского рационализма, при рассмотрении его концепции "всеобщей постижимости" его можно упрекнуть за слишком поспешное смешение "постижимого" и "рационального"; но мы не будем задерживаться на этих соображениях общего порядка, которые могут увести нас далеко в сторону от нашего вопроса. В этой связи мы только добавим следующее: может показаться поразительным, что после утверждения, что "математический анализ не должен зависеть от противоречий метафизического характера", – что достаточно спорно, поскольку это равнозначно утверждению, что математика становится полностью незнакомой с её собственными принципами, в согласии с чисто профанической точкой зрения; кроме того, противоречия метафизического характера могут быть вызваны исключительно непониманием реалий метафизического порядка – после такого утверждения Лейбниц с целью обоснования своего "принципа причинности", с которым он связывал свой математический анализ, в итоге прибегает к аргументу хоть и не метафизическому, но определённо богословскому, который, в свою очередь, может привести к не меньшему числу противоречий. "Это по той причине, что всё управляется разумом, – пишет он, – и потому что в противном случае не было бы ни науки, ни законов, что не соответствует природе верховного принципа"5, на что можно ответить, что в реальности разум (или рассудок) является всего лишь чисто человеческой способностью индивидуального порядка и что, даже без рассмотрения "верховного принципа", разумность, рассматриваемая в её универсальном смысле, то есть как чистый и трансцендентный интеллект, представляет собой нечто абсолютно отличное от разума (или рассудка) и не может сопоставляться с ним никоим образом; таким образом, если верно, что нет ничего "иррационального", тем не менее существует множество вещей, которые являются "сверх-рациональными", но от этого не перестают быть "постижимыми".

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 См.: Множественность состояний сущего, гл. 11.

5 Из того же письма Вариньону. – Первое изложение "принципа континуальности" появилось в Nouvelles de la R?publique des Lettres в июле 1687 года, в таком же виде, как в нашем изложении, и под следующим пышным заголовком: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinae examinantur Naturae Leges, qua occasione nata cum R.P. Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur (Некоторый общий принцип, полезный не только для математики, но также и для физики, посредством коего исследуются законы природы в отношении к Божественной Премудрости и посредством коего разрешается спор, начатый Мальбраншем, и указуются ошибки картезианцев).

Теперь следует перейти к более точному определению "принципа континуальности", определению, которое имеет более непосредственное отношение к принципам исчисления бесконечно малых, чем предыдущее: "Если в отношении своих данных один случай непрерывным образом сближается с другим и в конечном счёте сливается с ним, то с необходимостью следует, что результаты (следствия) этих случаев в равной степени непрерывным образом сближаются с их искомыми решениями и они в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом"6. Здесь важно различать два момента: во-первых, если разница между двумя случаями уменьшается до такой степени, что становится меньше любой определимой величины in datis (в данных), то же самое происходит in quaesitis (в искомом); коротко говоря, это только частный случай известного более общего положения, и эта часть определения принципа континуальности не вызывает возражений, коль скоро признаётся, что существуют варьирования континуального и что исчисление бесконечно малых в сущности связано как раз с областью, в которой происходят такие варьирования, а именно с областью геометрии; но следует ли на основе этого признавать, что casus in casum tandem evanescat (один случай, в конечном счёте, сливается с другим) и что, следовательно, eventus casuum tandem in se invicem desinant (следствия обоих случаев в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом)? Иными словами, станет ли разница между двумя случаями когда-либо равной нулю, в результате её непрерывного и неопределённого убывания, или, если угодно, подойдёт ли их убывание, хотя и неопределённое, когда-либо к концу? Это, в принципе, равнозначно вопросу: может ли в рамках континуального варьирования быть достигнут предел; и в этом отношении мы, прежде всего, сделаем следующее замечание: поскольку неопределённое всегда включает, в некотором смысле, нечто неисчерпаемое, в той мере, в какой это подразумевается континуальным, и поскольку сам Лейбниц не допускал, что деление континуального может достичь конечного члена (и вообще что такие члены существуют) – является ли логичным и последовательным с его стороны в то же самое время утверждать, что континуальное варьирование, производимое per infinitos gradus intermedios (по бесконечным промежуточным шагам)7, может достичь своего предела? Это, конечно, не означает отрицание самой возможности достижения такого предела, что свело бы исчисление бесконечно малых просто к методу приближений; но если такой предел действительно достигается, это происходит не в рамках самого континуального варьирования и он достигается не в качестве конечного члена в неопределённой последовательности gradus mutationis (степеней изменения). Тем не менее именно этим "принципом континуальности" Лейбниц намеревается обосновать свой "переход к пределу", что, с точки зрения логики, представляет собой далеко не последнюю из проблем, возникающих в связи с его методом, и именно в этом месте его умозаключения становятся абсолютно неприемлемыми; однако для лучшего понимания этого аспекта вопроса следует начать с прояснения самого математического понятия предела.

6 Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis (Оперативный алгоритм для изучения законов природы в отношении сил тел, исследования их взаимодействий и обнаружения их причин), часть II.

7 Письмо Шуленбергу от 29 марта 1698 года.

Глава 12.

Понятие предела.

Понятие предела является одним из важнейших рассматриваемых нами понятий, ибо смысл метода бесконечно малых, по крайней мере, в отношении его строгости, полностью зависит от понятия предела; можно даже сказать, что, в конечном счёте, "весь алгоритм исчисления бесконечно малых основан на понятии предела, ибо именно это строгое понятие служит для определения и обоснования всех понятий и формул исчисления бесконечно малых"1. В самом деле, цель этого исчисления "сводится к вычислению пределов отношений и пределов сумм, то есть к нахождению постоянных значений, к которым сходятся отношения и суммы переменных величин, если эти величины неопределённо убывают согласно некоторой заданной формуле"2. Точнее следует сказать, что из двух разделов исчисления бесконечно малых дифференциальное исчисление состоит в вычислении пределов отношений, члены которых неопределённо убывают, при этом находясь в некоторой зависимости таким образом, что само отношение всегда имеет конечное и находимое значение; а интегральное исчисление состоит в вычислении пределов сумм элементов, множество которых неопределённо возрастает, в то время как значение каждого элемента неопределённо убывает, поскольку должны быть действительны вместе оба этих условия, чтобы сама сумма всегда оставалась конечной и находимой* величиной. При этих условиях, можно в общем сказать, что пределом переменной величины является другая величина, рассматриваемая как постоянная, к которой переменная должна приближаться посредством значений, последовательно принимаемых ею в ходе своего варьирования, до тех пор, пока она не будет отличаться от постоянной величины сколь угодно мало, иными словами, до тех пор, пока разница между этими двумя величинами не будет меньше любой определимой величины. Момент, который мы особенно подчеркнём (по причинам, которые будут ясны из последующего изложения), это то, что предел в принципе является постоянной и находимой величиной; даже если это не задано в условиях задачи, всё равно предел изначально понимается как имеющий находимое значение и продолжает считаться постоянным до завершения вычислений.

Но понятие предела самого по себе это одно, а логическое обоснование "перехода к пределу" – совсем иное; Лейбниц полагал, что:

… что вообще обосновывает этот "переход к пределу", это то, что те же самые отношения, которые существуют между несколькими переменными величинами, также существуют между их постоянными пределами, когда их изменения непрерывны, ибо тогда они действительно достигают своих соответствующих пределов; это представляет собой один из вариантов изложения принципа континуальности3.

1 Л. Кутюра, De l'infini math?matique, с. 23.

2 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinit?simale, предисловие, с. 8.

* determined в данном контексте (о величинах) переводим как "находимая" или "измеримая". (прим. перев.)

3 Л. Кутюра, De l'infini math?matique, с. 268, примечание. – Эта точка зрения явно выражена в: Justification du Calcul des inifinit?simales par celui de l'Alg?bre ordinaire.

Но весь вопрос как раз и заключается в том, может ли переменная величина, которая неопределённо приближается к своему постоянному пределу и которая, следовательно, может отличаться от него сколь угодно мало, согласно самому определению предела, действительно достичь этого предела именно вследствие своей переменности, то есть может ли предел пониматься как конечный член континуального варьирования. Мы увидим, что в действительности это решение неприемлемо; но, поскольку мы вернёмся к этому вопросу позже, скажем здесь только, что само строгое понятие континуальности не позволяет рассматривать бесконечно малые величины как способные достигать нуля, ибо тогда они перестали бы быть величинами; даже сам Лейбниц считал, что они всегда должны сохранять характер истинных величин, даже если они считаются "обращающимися в нуль". Поэтому бесконечно малая разница никогда не может быть строго нулевой; соответственно, переменная, поскольку она остаётся переменной, будет всегда реально отличаться от своего предела и не сможет достичь этого предела без того, чтобы тем самым утратить свой переменный характер.

По этому поводу, если не считать одной небольшой оговорки, можно полностью принять такие соображения уже ранее цитированного математика:

Что характеризует предел, в нашем определении, это то, что переменная может приближаться к нему сколь угодно близко, но всё же никогда не может достичь его в строгом смысле; ибо, для того чтобы переменная фактически достигла его, должно быть реализовано некоторое бесконечное, что с необходимостью исключено <…>. Поэтому следует придерживаться идеи неопределённого, то есть всё большего приближения4.

4 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinit?simale, с. 18.

Вместо того чтобы говорить о "реализации некоторого бесконечного", что с нашей точки зрения бессмысленно, мы просто скажем, что в таком случае должна была бы быть исчерпана некоторая неопределённость, в то время как неопределённость по определению является неисчерпаемой; а также что, в то же время, возможности развёртывания, заложенные в самой этой неопределённости, позволяют получать столь близкое приближение, сколь угодно, ut error fiat minor dato (чтобы погрешность стала меньше любой заданной погрешности), по выражению Лейбница, для которого "метод является безошибочным", коль скоро может быть получен такой результат.

Отличительным признаком предела и именно тем признаком, который не позволяет переменной строго достичь его, является отличие его определения от определения переменной; а переменная, в свою очередь, при приближении к пределу сколь угодно близко никогда не может достичь его, потому что она не может перестать удовлетворять своему собственному определению, которое, как мы указали, отлично от определения предела. Непременное различие между определениями предела и переменной встречается повсеместно <…>. Тот факт, что эти два определения, будучи логически различными, при этом относятся к величинам, которые могут сколь угодно близко приближаться друг к другу5, объясняет то, что может на первый взгляд показаться странным, а именно невозможность при каких бы то ни было условиях совпадения двух обозначаемых этими понятиями величин, даже при уменьшении разницы вплоть до её выхода за пределы представимости6.

5 Было бы более корректным сказать, что одна приближается к другой, поскольку только одна из рассматриваемых величин переменна, а другая в принципе постоянна; таким образом, именно в силу самого определения предела, их сближение никоим образом не может рассматриваться как взаимное соотношение, в котором оба члена выступают как бы взаимозаменяемыми; вместе с тем, эта необоюдность подразумевает, что их разница является разницей чисто качественного порядка.

6 Там же, с. 19.

Вероятно, излишне подчёркивать, что в силу тенденции модерна сводить всё исключительно к количеству некоторые ставили в вину такому пониманию предела введение качественного различия в науку о количестве; но, если отвергать на этом основании такое понимание предела, на том же самом основании следует отвергнуть – помимо прочего – понятие подобия в геометрии, которое также является чисто качественным, поскольку оно рассматривает только форму фигур в отрыве от их размеров и, следовательно, от их собственно количественной составляющей (что мы поясняли в другой работе). В этой связи также следует заметить, что одним из основных приложений дифференциального исчисления является определение направлений касательных на каждой точке кривой, общая совокупность которых определяет саму форму кривой, и что на пространственном уровне направление и форма являются как раз элементами существенно качественного характера7. Кроме того, намерение просто полностью устранить понятие "предельного перехода" под видом того, что математик может обойтись фактическим переходом к пределу без каких-либо препятствий для завершения его вычислений, также не может являться удовлетворительным решением проблемы; это может быть верно, но важно следующее: при таких условиях, до какой степени можно считать эти вычисления строго обоснованными, и, даже если таким образом "метод является безошибочным", не будет ли он безошибочным просто в качестве метода приближений? Можно возразить, что только что изложенная нами концепция также делает "предельный переход" невозможным, поскольку характер предела как раз состоит в недопущении его достижения; но это верно только в некотором смысле, и только поскольку рассматриваются переменные как таковые, ибо мы не сказали, что предел недостижим никоим образом, но – и это весьма важно уяснить – что он не может быть достигнут в пределах варьирования и в качестве члена варьирования. Что поистине невозможно, так это представление о "переходе к пределу" как о результате континуального варьирования; поэтому необходимо заменить его другим понятием, что мы и произведём в дальнейшем.

7 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 4.

Глава 13.

Континуальность и предельный переход.

Теперь мы можем вернуться к рассмотрению "принципа континуальности" или, точнее говоря, к тому аспекту этого принципа, который на время оставили в стороне и который является как раз тем аспектом, на основании которого, по мнению Лейбница, может обосновываться "переход к пределу". В его понимании, из этого принципа следует следующее:

… при рассмотрении континуальных величин предельный разделительный случай может рассматриваться как неразделительный, и такой случай, хотя совершенно отличный по природе, таким образом, как бы содержится в скрытом состоянии в общей формуле для остальных случаев1.

1 Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium, Professorem Matheseos Halensem, circa Scientiam Infiniti (Письмо Христиану Вольфу, профессору математики, о науке бесконечного), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1713.

Хотя сам Лейбниц, похоже, этого не подозревал, именно в этом месте содержится принципиальная логическая ошибка его концепции континуальности, которую можно легко обнаружить в выводах, которые он делает из этой концепции. Несколько примеров:

В соответствии с моим принципом континуальности, можно считать покой бесконечно малым движением, то есть равнозначным некоторому виду своей противоположности, а совпадение можно считать бесконечно малой удалённостью, равенство последним из неравенств и т.д.2.

[или ещё]: В соответствии с этим принципом континуальности, исключающим любые резкие изменения, случай покоя может рассматриваться как особый случай движения, а именно как обращающееся в нуль или минимальное движение; а случай равенства может рассматриваться как обращающееся в нуль неравенство. Из этого следует, что законы движения должны быть установлены таким образом, что не будет необходимости существования особых законов для тел, находящихся в равновесии или покое, но такие законы будут сами по себе частью законов для тел, находящихся в состоянии неравновесия и в движении*; или, если нет намерения разрабатывать отдельные законы для покоя и равновесия, следует признать, что они не являются таковыми, ибо противоположное будет противоречить упомянутой гипотезе, считающей покой зарождающимся движением, а равенство – последним из неравенств3.

2 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

3 Ранее цит. Specimen Dynamicum.

* О тенденции науки модерна к устранению статики как раздела механики см. напр.: А.Т. Григорьян, В.П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. Москва, 1962. с. 11-15. (прим. перев.)

Добавим ещё одну цитату по этому вопросу, в которой обнаруживается ещё один пример, несколько отличающийся от предыдущих, но не менее спорный с точки зрения логики:

Хотя, в строгом смысле, неверно, что покой является видом движения, а равенство является видом неравенства, так же как неверно, что круг является видом правильного многоугольника, тем не менее можно сказать, что покой, равенство и круг являются предельными формами, соответственно, движения, неравенства и правильного многоугольника, которые посредством непрерывного варьирования достигают этих форм через обращение их ограничений в нуль. И, хотя такие предельные формы разделительны, то есть, в строгом смысле, не являются одной из ограничиваемых ими варьирующихся форм, они тем не менее имеют такие же свойства, как если бы они были одной из них, если выражаться на языке бесконечно малых, на котором, например, круг может называться правильным многоугольником с бесконечным числом сторон. В противном случае будет нарушен принцип континуальности – то есть это означает, что по той причине, что посредством непрерывного перехода можно перейти от многоугольников к кругу без какого-либо разрыва, подобным образом, нет разрыва и в переходе от свойств многоугольников к свойствам круга4.

4 Justification du Calcul des inifinit?simales par celui de l'Alg?bre ordinaire, записка, приложенная к письму Вариньона Лейбницу от 23 мая 1702 года, в которой упоминается, что она была послана Лейбницем для включения в Journal de Tr?voux. Лейбниц употребляет слово "непрерывный" [continual] в смысле "континуального" [continuous].

Следует отметить, что, как указано в начале последней цитаты, Лейбниц считал эти утверждения утверждениями того же рода, что и являющиеся toleranter verae (приемлемо истинными), которые, как он говорит в другом месте,

прежде всего, служат целям искусства изобретательства, хотя, по моему мнению, они содержат нечто фиктивное или мнимое, что, однако, может быть исправлено путём сведения их к обычным выражениям во избежание ошибок5.

5 Ранее цит. Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium.

Однако не являются ли вышеприведённые утверждения уже ошибочными и, вернее сказать, не содержат ли они очевиднейшие противоречия? Без сомнения, Лейбниц понимал, что предельный случай или ultimus casus является exclusivus (разделительным), что с очевидностью подразумевает его нахождение вне ряда случаев, естественным образом входящих в общую формулу; но тогда по какому праву разделительный случай, несмотря на это, может быть включён в эту формулу и рассматриваться ut inclusivum (как неразделительный), то есть как будто он является только одним из случаев, содержащихся в общем ряду? Верно, что круг является пределом правильного многоугольника с неопределённо возрастающим числом сторон, но определение круга принципиально иное, нежели определение многоугольника; и на таком примере можно достаточно ясно видеть, что существует качественная разница между собственно пределом и тем, в отношении чего он выступает как предел, как мы уже отмечали ранее. Покой никоим образом не является частным случаем движения, как и равенство не является частным случаем неравенства, схождение частным случаем удалённости, а параллельность частным случаем сходимости; кроме того, Лейбниц не считает их таковыми в строгом смысле, но всё же он утверждает, что они некоторым образом могут рассматриваться в качестве таковых, в результате чего "пределом некоторого рода может быть противоположный квази-вид" и нечто может быть "равнозначно некоторому противоположному себе виду"6. Вместе с тем, попутно заметим, что с тем же самым порядком идей у Лейбница, похоже, связано его понятие "виртуальности", поскольку он придаёт ему особый смысл потенциальности, рассматриваемой как зарождающаяся актуальность7, что опять-таки является не менее противоречивым, чем только что приведённые примеры.

6 Initia Rerum Mathematicarum Metaphysica (Метафизические принципы математики). Дословно Лейбниц пишет: "genus in quasi-speciem oppositam desinit*", и употребление причудливого слова "квази-вид", очевидно, обнаруживает трудности в придании приемлемого вида подобной неудобоваримой конструкции.

* Проблема "incipit" и "desinit" (начала и окончания изменения), популярная в схоластике, имела античные истоки. Понимание "desinit" у Лейбница некорректно, т.к. в схоластике "desinit" (завершающая точка какого-либо изменения) традиционно считалась не принадлежащей совокупности ряда стадий изменения. (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 154-155). (прим. перев.)

7 Слова "актуальность" и "потенциальность" употреблены здесь, конечно, в аристотелевском и схоластическом смысле.

Какую бы точку зрения ни занять, ни в малейшей степени не понятно, как некоторый вид может быть "граничным случаем" противоположного вида или рода, ибо противоположные сущности обоюдно ограничивают друг друга не таким образом, а, очевидно, наоборот – тем, что они исключают друг друга, и невозможно одному из двух противоречивых объектов быть сведённому к другому; например, может ли неравенство иметь некоторое значение помимо той степени, в которой оно противопоставлено равенству и является его отрицанием? Безусловно, нельзя согласиться, что подобные таким высказывания являются даже toleranter verae (приемлемо истинными), ибо, даже если не признавать существование абсолютно отдельных родов, всё же истинно то, что любой род, определяемый как таковой, никогда не может стать составной частью другого в равной степени определяемого рода, если определение последнего не включает в себя его собственное определение, даже если оно формально не исключает его (как в случае с противоположностями); и если между различными родами может быть установлена связь, то не посредством того, чем они фактически различаются, но только посредством высшего рода, включающего в себя их оба. Такая концепция континуальности, которая сводится к упразднению не только всякого разделения, но даже всякого фактического различия, позволяя прямой переход от одного рода к другому без сведения их к высшему или более общему роду, по сути представляет собой полное отрицание всяких подлинных логических принципов; и от неё остаётся всего один шаг (который уже весьма нетрудно сделать) до гегелевского утверждения "единства противоположностей".

Глава 14.

"Обращающиеся в нуль величины".

Для Лейбница обоснование "предельного перехода" в конечном счёте состоит в том соображении, что особый случай "обращения величины в нуль" (по его выражению) должен быть в силу континуальности в некотором смысле включён в заданную общую формулу; вместе с тем, эти обращающиеся в нуль* величины нельзя рассматривать как "абсолютное ничто" или как чистый нуль, ибо в силу той же континуальности они сохраняют некоторое отношение между собой – и вообще неравны – и в тот момент, когда они обращаются в нуль, что подразумевает их прежний статус реальных величин, хотя и "неопределимых" по отношению к обычным величинам1. Тем не менее если эти обращающиеся в нуль величины – или бесконечно малые величины, что то же самое – не представляют собой "абсолютное ничто", даже если речь идёт о дифференциалах выше первого порядка, их всё равно необходимо рассматривать как "относительное ничто", то есть полагать, что они, сохраняя характер реальных величин, могут и должны считаться ничтожными по отношению к обычным величинам, с которыми они "несравнимы"2; но, будучи умноженными на "бесконечные" величины или величины, несравнимо большие обычных, они снова дают обычные величины, что было бы невозможным, будь они абсолютно ничтожными. В свете изложенных ранее определений ясно, что рассмотрение отношений обращающихся в нуль, но по-прежнему находимых величин относится к дифференциальному исчислению, а рассмотрение умножения этих величин на "бесконечные" величины с результатом в виде обычных величин относится к интегральному исчислению. Трудность во всём этом состоит в том, чтобы признать, что величины, не являющиеся абсолютно ничтожными, всё же должны рассматриваться в вычислениях как таковые, что может создать впечатление, что это просто вопрос обычных приближений; к тому же в этой связи Лейбниц иногда, похоже, склонен привлекать свой "принцип континуальности", в котором "граничный случай" включён в общий ряд, как будто этого единственного постулата достаточно для обоснования его метода; тем не менее этот аргумент совершенно неясен, и скорее следует вернуться к вопросу "несравнимых", как это нередко делает сам Лейбниц, с целью оправдания устранения бесконечно малых величин из результатов вычислений.

* vanishing – обращающаяся в нуль, стремящаяся к нулю, близкая к нулю, "исчезающая" (величина) (прим. перев.)

1 Для Лейбница 0/0 = 1, поскольку, по его словам, "одно ничто представляет собой то же самое, что и другое"; но поскольку (0) (n) также равно 0 для любого значения n, очевидно, что можно также записать 0/0 = n, и поэтому выражение 0/0 вообще считается выражением так называемой "неопределённой формы".

2 Разница между этим примером и примером с песчинкой в том, что при рассмотрении "обращающихся в нуль величин" с необходимостью рассматриваются переменные величины, а не постоянные и находимые, какими бы малыми их не полагать.

В самом деле, Лейбниц считает равными не только те величины, разница которых равна нулю, но даже те, разница которых несравнима по отношению к самим величинам; это понятие "несравнимых", в его глазах, является основанием не только для устранения бесконечно малых величин, которые таким образом исчезают на фоне обычных величин, но также и для различения разных уровней бесконечно малых или дифференциальных величин, на каждом из которых величины данного уровня несравнимы с величинами предыдущего уровня, таким же образом, как и величины первого уровня с обычными величинами, при том что такие величины всё же никогда не превращаются в "абсолютное ничто". "Я называю две величины несравнимыми, – писал Лейбниц, – когда одна из них, несмотря на умножение её на любое конечное число, всё же не может быть больше другой, точно так же, как это излагал Евклид в пятом определении своей пятой книги"3. Однако, ничто здесь не указывает, следует ли это определение применять к постоянным и находимым или к переменным величинам; но следует признать, что в своей полной мере оно применимо без различия к обоим случаям; весь вопрос, в таком случае, заключается в том, могут ли в каком-либо случае две постоянные величины, какими бы различными они ни были в каком угодно масштабе, считаться поистине "несравнимыми" или они будут таковыми только относительно средств измерения, которыми располагает наблюдатель. Но мы не будем задерживаться на этом вопросе, поскольку сам Лейбниц в другой работе заявляет, что данные соображения не относятся к дифференциалам4, из чего необходимо заключить, что вышеупомянутое сравнение с песчинкой не только является явно неадекватным, но и что оно по существу дела не отвечает, даже в рамках мысли Лейбница, истинному понятию "несравнимых", по крайней мере, в приложении этого понятия к бесконечно малым величинам.

3 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, между 14 и 24 июня 1695 г.

4 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

Тем не менее некоторые посчитали, что исчисление бесконечно малых может стать идеально строгим только при условии, что бесконечно малые будут считаться ничтожными, и в то же время такие учёные ошибочно полагали, что погрешность можно считать нулевой, если считать её сколь угодно малой; мы говорим "ошибочно", ибо это означало бы то же самое, что и возможность переменной, как таковой, достичь её предела. Вот что по этому поводу говорит Карно:

Некоторые полагают, что достаточным образом обосновали принципы исчисления бесконечно малых на следующих основаниях: очевидно, говорят они, и общепризнанно, что погрешности, возникающие при использовании исчисления бесконечно малых – при их наличии – всегда могут считаться сколь угодно малыми; также очевидно, что любая погрешность, полагаемая сколь угодно малой, может быть нулевой, ибо коль можно посчитать её сколь угодно малой, то можно посчитать её и нулевой; поэтому результаты исчисления бесконечно малых являются строго точными. Этот довод, на первый взгляд внушающий доверие, тем не менее не имеет ничего общего с логикой, ибо неверно утверждать, что по причине полагания погрешности сколь угодно малой её можно считать нулевой <…>. Предстаёт неизбежная альтернатива: либо совершения ошибки, какой бы малой она ни считалась, либо обращения к формуле, которая ничего не выражает, и именно в этом состоит суть проблемы исчисления бесконечно малых"5.

5 R?flexions sur la M?taphysique du Calcul infinit?simal, с. 36.

 

Несомненно, что любая формула, в которое отношение стоит в форме 0/0, "ничего не выражает", и можно даже сказать, что она не имеет смысла сама по себе; только в силу некоторой условности – вместе с тем, обоснованной – можно придать некоторый смысл выражению 0/0, рассматривая его как символ неопределимости6; но в таком случае сама эта неопределимость означает, что отношение в этом выражении может быть равно чему угодно, в то время как, напротив, оно должно иметь находимое значение в каждом конкретном случае; именно аргумент существования этого находимого значения выдвигает Лейбниц7, и сам по себе этот аргумент абсолютно неопровержим8. Однако, необходимо признать, что понятие "обращающихся в нуль величин" обладает "колоссальным недостатком в том отношении, что рассматривает величины в том состоянии, когда они, так сказать, перестают быть величинами", говоря словами Лагранжа; но, вопреки мысли Лейбница, нет необходимости рассматривать их именно в тот момент, когда они "обращаются в нуль" или "исчезают", и даже нет необходимости предполагать их способность действительного обращения в нуль. Вместе с тем, такое соображение в принципе предполагает, что, строго говоря, не существует "бесконечно малой" величины, ибо эта "бесконечно малая" величина – или, по крайней мере, то, что называлось так у Лейбница – могла бы быть только нулём, так же как "бесконечно большая" величина, взятая в том же смысле, может быть только "бесконечным числом"; но в реальности нуль не является числом, а "нулевые величины" существуют не в большей мере, чем "бесконечные величины". Математический нуль, в его точном и строгом значении представляет собой только отрицание, по крайней мере, в отношении его количественного аспекта, а утверждать, что отсутствие количества составляет некоторое количество, невозможно; мы ненадолго вернёмся к этому пункту позже, чтобы более ясно продемонстрировать проистекающие из него следствия.

6 См. предыд. прим.

7 С той разницей, что для него отношение 0/0 не является неопределимым, но всегда равно 1, как мы указывали ранее, хотя на самом деле его значение различно в каждом случае.

8 Ср.: Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinit?simale, с. 45-46: "Если приращения будут сведены к чистому нулю, они более не будут иметь никакого смысла. Поэтому они должны быть не нулевыми, а неопределённо убывающими без того, чтобы когда-либо обращаться в нуль, в силу самого принципа, согласно которому переменная никогда не может совпасть со своим пределом".

Словом, выражение "обращающиеся в нуль величины" имеет прежде всего тот недостаток, что оно создаёт двусмысленность, ведущую к предположению, что бесконечно малые величины могут рассматриваться как величины, действительно превращающиеся в нуль, ибо, не меняя смысл употребляемых слов, трудно понять, каким образом в случае величин "обращаться в нуль" может иметь некий иной смысл кроме "обнуляться". В действительности эти бесконечно малые величины, если их понимать как неопределённо убывающие величины, что является их истинным смыслом, никогда не могут "обратиться в нуль" в собственном смысле слова. Очевидно, было бы намного лучше, если бы понятие "обращающиеся в нуль" вообще не вводилось, поскольку оно принципиально связано с концепцией континуальности Лейбница и, таким образом, неминуемо содержит тот же элемент противоречивости, который свойственен нелогичности этой концепции. Итак, если погрешность, хотя бы она могла быть сведена к сколь угодно малой, никогда не может стать нулевой, как же может исчисление бесконечно малых быть подлинно строгим, и если погрешность на самом деле незначительна только в практическом смысле, то не следовало бы заключить, что это исчисление таким образом сводится к простому методу приближений или, по выражению Карно, к "уравниванию погрешностей"? Этот вопрос мы разрешим по ходу дальнейшего изложения; но поскольку мы затронули нуль и так называемые "нулевые величины", следует сначала рассмотреть вопрос нуля, который, как мы имели возможность убедиться, является далеко не малозначительным.

Глава 15.

Нуль – это не число.

Неопределённое убывание чисел способно окончиться на "нулевом числе" не более, чем неопределённое возрастание чисел может окончиться на "бесконечном числе", и по той же самой причине, ибо каждое из таких чисел должно быть обратным другому; в самом деле, согласно изложенному ранее в отношении обратных чисел, поскольку каждый из двух рассмотренных рядов – как возрастающий, так и убывающий – одинаково удалён от единицы, которая является общей отправной точкой обоих, и поскольку с необходимостью должно быть столько же членов в одном ряду, сколько и в другом, их конечные члены – а именно "бесконечное число" и "нулевое число" – если бы они существовали, должны были бы быть равно удалены от единицы и, таким образом, быть обратными друг другу1. С такой точки зрения, если символ ? в действительности является только обозначением неопределённо возрастающих величин, тогда, по логике вещей, символ 0 должен подобным образом рассматриваться как обозначение неопределённо убывающих величин, для того чтобы отображать в нотации ту симметрию, которая, как мы указали, существует между этими двумя видами величин; но, к сожалению, символ 0 имеет совсем другое значение, поскольку он изначально был принят для обозначения полного отсутствия величины, в то время как у символа ? нет реального значения, которое бы соответствовало этому значению нуля. Здесь, как и в случае "обращающихся в нуль величин", имеется ещё один повод для путаницы, и, чтобы избежать этой путаницы, следовало бы изобрести другой символ, отличный от нуля, для обозначения неопределённо убывающих величин, поскольку эти величины характеризуются как раз тем, что они никогда не могут обратиться в нуль, несмотря на какие бы то ни было варьирования, которым они могут подвергаться; так или иначе, при использовании нотации, употребляемой современными математиками, избежать путаницы кажется почти невозможным.

1 В обычной нотации это выражается формулой: (0)(?) = 1, но форма 0/?*, по сути, также (как и 0/0) представляет собой "неопределённую форму", и можно записать (0)(?) = n, где n обозначает любое число, что, вместе с тем, указывает, что в реальности символы 0 и ? не могут рассматриваться как выражения определённых, находимых чисел; к этому моменту мы вернёмся позже. В другом отношении, можно заметить, что выражение (0)(?) представляет собой для "пределов сумм" интегрального исчисления то же, что выражение 0/0 для "пределов отношений" дифференциального исчисления.

* Видимо, должно быть: "1/?". (прим. перев.)

Если мы подчёркиваем тот факт, что нуль, поскольку он обозначает полное отсутствие величины, не является числом и не может рассматриваться в качестве числа – хотя это может быть достаточно очевидным для тех, кто никогда не вдавался в учёные дебаты некоторого рода – то по той причине, что как только признаётся существование "нулевого числа", которое должно рассматриваться как "наименьшее из чисел", неизбежно приходится в порядке взаимности предполагать существование обратного ему "бесконечного числа" в смысле "наибольшего числа". Поэтому, если принимать, что нуль является числом, следует признать логичность аргументов в пользу "бесконечного числа"2; и как раз по этой причине существование "нулевого числа" необходимо отвергнуть – ибо если следствия из него обладают противоречивостью (а мы показали, что существование "бесконечного числа" действительно противоречиво), то и существование "нулевого числа" противоречиво. В самом деле, отрицание количества никоим образом не может быть сведено к некоторому количеству; отрицание числа или величины ни в каком отношении и ни в какой степени не является видом числа или величины; утверждать обратное значило бы утверждать, что нечто может быть "равнозначно некоторому противоположному себе виду", говоря словами Лейбница, что равнозначно утверждению, что отрицание логики является логикой.

2 На предположении, что нуль является числом, в значительной степени основываются аргументы Л. Кутюра в его работе De l'infini math?matique.

Поэтому неизбежно связаны с противоречиями такие утверждения, как то, что нуль является числом, или что "нулевая величина" всё равно является величиной, из чего неизбежно следовала бы необходимость рассмотрения стольких же различных видов нуля, сколько есть величин; в действительности может существовать только нуль как таковой, который представляет собой ни что иное, как отрицание количества, какой бы его вид ни рассматривать3. Когда признаётся этот истинный смысл арифметического нуля, взятого "строгим" образом, становится очевидно, что этот смысл не имеет ничего общего с понятием бесконечно убывающих величин, которые всегда являются величинами; они никогда не представляют собой отсутствие величины, как и не являются они чем-то промежуточным между нулём и величиной, что представляло бы собой ещё одну абсолютно невразумительную концепцию, напоминающую концепцию "виртуальности" Лейбница, которую мы уже упоминали.

3 Из этого также следует, что нуль не может рассматриваться в качестве предела в математическом смысле этого слова, ибо истинный предел по определению всегда является величиной; вместе с тем, очевидно, что неопределённо убывающая величина имеет предел не в большей мере, чем неопределённо возрастающая, или, во всяком случае, что ни одна из них не может иметь никаких иных пределов, кроме таких, которые с необходимостью проистекают из самой природы величины как таковой, что представляет понятие "предел" в несколько ином значении, довольно отличном от обычного, хотя между этими двумя значениями есть определённая связь, как будет показано далее; в математическом смысле можно говорить только о пределе отношения между двумя неопределённо возрастающими или неопределённо убывающими величинами, но не о пределе этих величин как таковых.

Теперь можно вернуться к другому смыслу, которым нуль обладает в привычной нотации, чтобы рассмотреть, как возникли вышеупомянутые недоразумения. Мы уже говорили, что число может некоторым образом считаться практическим неопределённым, когда невозможно как-либо выразить или представить его; такое число, чем бы оно ни было, может быть обозначено в порядке возрастания только символом ?, поскольку он обозначает неопределённо большое; поэтому это вопрос не некоторого находимого числа, а скорее целой области, и, вместе с тем, этот символ необходим при рассмотрении неравенств и даже различных порядков величин в рамках неопределённого. В математической нотации нет символа для соответствующей области в порядке убывания, которая может быть названа областью неопределённо малого; но поскольку число, принадлежащее этой области, по сути, не учитывается в расчётах, оно на практике обыкновенно считается ничтожным, хотя это только простое приближение, проистекающее из неминуемого несовершенства наших средств выражения и измерения, и, несомненно, именно по этой причине это число стало обозначаться символом 0, который помимо этого обозначает строгое отсутствие количества. Только в этом смысле символ 0 становится некоторым образом симметричным символу ?, и они оба могут быть помещены соответственно на двух краях последовательности чисел (которую мы уже рассматривали ранее), где целые и обратные им числа неопределённо простираются в двух противоположных направлениях возрастания и убывания. Эта последовательность выражается в такой форме: 0 … 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4 … ?; но следует напомнить, что 0 и ? не являются двумя находимыми числами, завершающими ряд в каждом из направлений, но двумя неопределёнными областями, в которых, напротив, не может быть конечных членов, именно вследствие их неопределённости; вместе с тем, очевидно, что здесь нуль не может быть ни "нулевым числом", которое было бы конечным членом в направлении убывания, ни отрицанием или отсутствием количества, которому нет места в этой последовательности численных величин.

Как мы ранее поясняли, любые два числа в этой последовательности, равно удалённые от центра-единицы, являются обратными или комплементарными по отношению друг к другу, давая единицу при умножении: (1/n) (n) = 1, так что для двух краёв этой последовательности следовало бы также записать: (0)(?) = 1; но из того, что символы 0 и ?, множители этого произведения, не обозначают находимые числа, следует, что выражение (0)(?) само по себе является обозначением неопределимости или так называемой "неопределённой формы", и поэтому следует записать (0)(?) = n, где n может быть любым числом4; не менее верным является то, что в любом случае результатом этого действия будет обыкновенная конечность, то есть две противоположных неопределённости, так сказать, нейтрализуют друг друга. Здесь опять-таки ясно видно, что символ ? со всей очевидностью не означает Бесконечное, ибо у Бесконечного в его истинном смысле не может быть ни противоположного, ни комплементарного, и оно не может вступать в соотношение с чем бы то ни было, ни с нулём (в каком бы смысле его ни понимать), ни с каким-либо числом, ни с каким бы то ни было вообще объектом любого порядка, количественного или неколичественного; представляя собой абсолютное и универсальное Всё, оно содержит Небытие равно как и Бытие – таким образом, сам нуль, если он не рассматривается как чистое ничто, с необходимостью должен считаться частью этого Бесконечного.

4 См. предыд. прим.

Говоря о Небытии, мы затрагиваем ещё одно значение нуля, достаточно отличное от уже рассмотренных и наиболее важное с точки зрения метафизического символизма; но в этом отношении, с целью избежания смешения символа и обозначаемого им, необходимо пояснить, что метафизический Нуль, который представляет собой Небытие, является количественным нулём не в большей степени, чем метафизическая единица, которая представляет собой Бытие, является арифметической единицей. Обозначаемое этими символами выступает в качестве такового только в силу аналогии, поскольку при нахождении в области Универсального мы, очевидно, находимся за пределами всяких обусловленных областей, таких как область количества. К тому же нуль посредством такой аналогии может рассматриваться как символ Небытия не постольку, поскольку он выражает неопределённо малое, но скорее (в силу его самого строгого математического смысла) поскольку он выражает отсутствие количества, которое, в свою очередь, в действительности символизирует возможность непроявления, так же как единица, являясь отправной точкой неопределённого множества чисел, символизирует возможность проявления, поскольку Бытие является принципом всего проявления5.

5 По этому вопросу см.: Множественность состояний сущего, гл. 3.

Это снова позволяет нам заметить, что нуль, с какой бы точки зрения его ни рассматривать, ни в коем случае нельзя брать как абсолютное ничто, которое в метафизическом смысле соответствует только невозможности, которая никоим образом не может быть логически выражена ничем. Это достаточно очевидно в случае бесконечно малых; верно, что смысл нуля как абсолютного отсутствия является в исчислении бесконечно малых только, так сказать, вторичным, существуя благодаря (как мы недавно указывали) некоему приблизительному сведению не принимаемых нами в расчёт величин к полному отсутствию количества; но постольку, поскольку рассматривается само это отсутствие количества, являющееся ничтожным в этом отношении, несомненно, не может быть ничтожным в других отношениях, что очевидно, например, в случае точки, которая, будучи неделимой, в силу самого этого факта не имет протяжённости, то есть является пространственно ничтожной6, но которая, как мы поясняли в другой работе, тем не менее является самим принципом всякой протяжённости7*. Вместе с тем, достаточно странно, что математики, как правило, склонны рассматривать нуль как абсолютное ничто, в то время как они тем не менее неспособны при этом отказать ему в свойстве неопределённой потенциальности, ибо, будучи помещённым справа от разряда, именуемого "сигнификатом", нуль составляет часть представления числа, которое путём повторения этого нуля может неопределённо возрастать, как, например, число десять и его последующие степени. Такого не происходило бы, если бы нуль действительно представлял собой абсолютное ничто; к тому же в таком случае он представлял бы собой бесполезный знак, полностью лишённый действительного смысла; это ещё один пример из числа тех несообразностей в концепциях современных математиков, на которые мы уже указывали.

6 По этой причине никоим образом не может считаться, что точка составляет элемент или часть длины, как мы уже упоминали ранее.

7 См.: Символизм креста, гл. 16.

* Точка зрения Генона, изложенная в указанной главе книги "Символизм креста", отражает точку зрения пифагорейцев и крайних платоников (реалистов). О ней см. напр.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 157; В.П. Зубов, указ. соч., с. 135-136. Представление о "движении точки" принадлежит области так называемой "порождающей" или "временн?й" математики и вряд ли может считаться метафизическим. Средневековые финитисты отмечали, что "представление о непрерывном движении точки, порождающем линию, является продуктом математического мышления, которому соответствует лишь мысленное бытие (esse cognitum)" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 104; ср.: с. 136-138). Истинно континуалистским идеям скорее соответствуют представления о точке, линии и поверхности как "негативных" границах континуума, который получает протяжённость и непрерывность не посредством них, а посредством самого себя (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 100). (прим. перев.)

Глава 16.

Нотация отрицательных чисел.

Мы возвращаемся сейчас ко второму и более важному из двух математических смыслов нуля, а именно к нулю, рассматриваемому как представление неопределённо малого, по той причине, что в ранее рассмотренной нами вдвойне неопределённой последовательности чисел область неопределённо малого объемлет нечто, находящееся за пределами наших средств оценки в некотором направлении, точно так же как область неопределённо большого объемлет нечто, находящееся за пределами наших средств оценки в другом направлении. Раз это так, то говорить о числах "меньших нуля", очевидно, не более корректно, чем говорить о числах "больших неопределённого", и это ещё более неприемлемо – если такое возможно – когда нуль берётся в его втором смысле как выражение полного отсутствия количества, ибо абсолютно немыслимо, чтобы величина была меньшей, чем ничто. Тем не менее именно это, в некотором смысле, происходит, когда в математику вводится понятие так называемых отрицательных чисел, при игнорировании (в результате современного "конвенционализма") того факта, что эти числа изначально были не более чем выражением результата вычитания, которое фактически невозможно – вычитания большего числа из меньшего; кроме того, мы уже указывали, что все обобщения или расширения идеи числа проистекают только из допущения операций, невозможных с точки зрения чистой арифметики; но данное понятие отрицательных чисел и проистекающие из него следствия требуют более подробного пояснения.

Мы уже говорили, что последовательность целых чисел образуется начиная с единицы; из единицы выводится вся последовательность чисел таким образом, что, можно сказать, она уже в принципе заключается и содержится в начальной единице1, поскольку очевидно, что число невозможно вывести из нуля. Невозможен переход от нуля к единице, таким же образом, как переход от единицы к другим числам или от какого-либо данного числа к другому числу; подразумевать возможность перехода от нуля к единице значит подразумевать косвенное постулирование единицы2. Наконец, помещать нуль в начале последовательности чисел, как будто он стоит первым в последовательности, может означать только одно из двух: или следует признавать, вопреки изложенному ранее, что нуль является числом и, следовательно, что его отношения к другим числам принадлежат к тому же порядку, что и отношения чисел друг к другу – что не соответствует истине, поскольку нуль, умноженный или разделённый на число всегда даёт нуль – или признавать, что это просто приём нотации, способный только привести к более или менее тяжеловесным недоразумениям. В действительности использование этого приёма не оправдано ничем, кроме как целями введения нотации отрицательных чисел, и если такая нотация предлагает некоторые несомненные преимущества для удобства вычислений – абсолютно "прагматическое" соображение, которое мы здесь не рассматриваем и которое, с нашей точки зрения, вовсе лишено какой-либо реальной ценности – то только ценой значительных осложнений логического характера. Первым из таких осложнений является именно представление об отрицательных числах как о числах "меньших нуля", представление, которое Лейбниц причислял к разряду toleranter verae (приемлемо истинных), но которое в реальности, как мы только что указали, полностью лишено смысла. "Утверждать наличие отрицательной величины, меньшей нуля, – пишет Карно, – значит облекать науку математики, которая по определению является наукой очевидного, неким непроницаемым облаком и вторгаться в лабиринт парадоксов, один аномальнее другого"3. Мы придерживаемся его мнения, которое очевидно верно и, несомненно, не является преувеличением; вместе с тем, при использовании рассматриваемой нотации отрицательных чисел никогда не следует забывать, что она представляет собой не более чем продукт некоторой заурядной условности.

1 Подобным образом, по аналогии, всё неопределённое множество возможностей проявления "преизбыточно" и в принципе содержится в чистом Бытии или метафизической Единице.

2 Это будет совершенно очевидно, если, согласно общей формуле образования чисел в этой последовательности, записать этот переход как: 0 + 1 = 1.

3 "Note sur les quantit?s n?gatives", помещённое в конце R?flexions sur la M?taphysique du Calcul infinit?simal, с. 173.

Основания этой условности заключаются в следующем: когда некоторое вычитание арифметически невозможно, его результат тем не менее не лишён смысла, если это вычитание связано с величинами, которые можно исчислять в двух противоположных направлениях, как, например, в случае расстояний на линии, углов вращения или времени, отсчитываемого от некоторого момента как вперёд, так и назад. Из этого соображения проистекает геометрическое представление, обыкновенно используемое для отображения отрицательных чисел: на прямой линии, неопределённо простирающейся в двух направлениях (а не в одном, как в рассмотренном ранее случае), расстояния на линии могут рассматриваться как положительные и отрицательные в зависимости от их направления, и в качестве исходной точки определяется точка, в отношении которой расстояния будут положительными с одной стороны и отрицательными с другой. Для каждой точки на линии есть число, соответствующее мере его удалённости от исходной точки, которую, для упрощения языка изложения, можно назвать его индексом; итак, индексом самой исходной точки будет нуль, а индексы всех других точек на линии буду представлять собой числа со знаками + и –, что в реальности просто обозначает, по какую сторону от исходной находится некоторая точка. Подобным образом, на окружности можно обозначить положительное и отрицательное направления вращения, и начиная с исходного положения радиуса, можно считать некоторый угол положительным или отрицательным, согласно его направлению, и так далее по аналогии. Но, вернувшись к примеру с прямой, мы обнаружим, что две точки, равно удалённые от исходной и лежащие по разные стороны, будут обладать одинаковыми индексами, но с противоположными знаками, и в любом случае точка, находящаяся дальше от исходной по отношению к некоторой другой точке, будет, естественно, обладать большим индексом; таким образом, понятно, что если число n больше числа m, абсурдно утверждать, что –n меньше –m, поскольку напротив число –n выражает большую удалённость. Вместе с тем, знак, помещаемый перед числом, никоим образом не изменяет его в чисто количественном отношении, поскольку он выражает не меру расстояния как таковую, а только направление этого расстояния, что, собственно говоря, представляет собой элемент качественного, а не количественного порядка4.

4 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 4. Любопытно было бы рассмотреть, не является ли некой остаточной формой памяти об этом качественном характере тот факт, что математики до сих пор иногда называют числа, взятые "со знаком", то есть рассматриваемые как положительные или отрицательные, "знакоопределёнными" [qualified – "окачествленными"; прим. перев.], хотя, видимо, они не вкладывают в это выражение какой-либо внятный смысл.

Вместе с тем, поскольку линия неопределённа в обоих направлениях, придётся рассматривать как положительное, так и отрицательное неопределённое, выраженное, соответственно, символами ? и –?, которым обыкновенно приписываются абсурдные определения "положительной бесконечности" и "отрицательной бесконечности". Можно было бы задаться вопросом: что может представлять собой отрицательная бесконечность, или что было бы результатом вычитания бесконечности из чего-либо или даже из ничего, поскольку математики рассматривают нуль как ничто; стоит только облечь эти соображения в ясную языковую форму, чтобы увидеть, насколько они бессмысленны. Следует добавить, что, в частности, при исследовании варьирования функций в таком случае следует считать, что положительное и отрицательное неопределённое будут сливаться таким образом, что движущийся объект, начиная движение из исходной точки и двигаясь в положительном направлении, вернётся к исходной точке с отрицательной стороны, и наоборот, если движение будет продолжаться неопределённое количество времени – из чего будет следовать, что прямая (или то, что будет считаться прямой в таком случае) будет в реальности представлять собой замкнутую линию, хотя и неопределённую. Более того, можно показать, что свойства прямой на плоскости будут в точности такими же, как у ортодромии, то есть большой окружности на поверхности шара, и что плоскость и прямая, таким образом, могут быть уподоблены, соответственно, шару и окружности неопределённо большого радиуса и, соответственно, неопределённо малой кривизны, при том что обычные окружности на такой плоскости могут быть уподоблены меньшим окружностям сферы; для строгого характера этой аналогии следует, более того, предположить наличие "предельного перехода", ибо очевидно, что сколь большим ни становился бы радиус посредством неопределённого возрастания, он всегда описывает сферу, а не плоскость, и что сфера только стремится к превращению в плоскость, а её окружности к превращению в линии, таким образом, что плоскость и линии выступают в данном случае в роли пределов, точно так же как круг является пределом правильного многоугольника с неопределённо возрастающим числом сторон. Не вдаваясь дальше в эти спекуляции, заметим только, что посредством соображений такого рода можно как бы непосредственно уловить конкретную ограниченность пространственной неопределённости; как же тогда, желая оставаться логичным, кто-то может примененительно ко всему этому говорить о бесконечном?

Рассматривая положительные и отрицательные числа указанным ранее способом, мы замечаем, что последовательность чисел принимает следующий вид: –? … –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … +?, при том что порядок чисел соответствует порядку соответствующих точек на линии, то есть точек, имеющих соответствующие индексы, что, вместе с тем, указывает происхождение такого способа построения данной последовательности. Хотя эта последовательность равным образом неопределённа в обоих направлениях, она кардинально отличается от ранее рассмотренной нами последовательности, включавшей целые числа и обратные им числа: эта вторая последовательность симметрична не относительно единицы, а относительно нуля, который является исходной точкой её расстояний; и если два равноудалённых от неё числа возвращаются к ней, то не посредством умножения, как в случае с обратными числами, а посредством "алгебраического" сложения, то есть сложения, производимого с учётом их знаков, которое сводится, говоря языком арифметики, к их вычитанию. Вместе с тем, никоим образом нельзя сказать об этой второй последовательности, что она неопределённо возрастает в одном направлении и неопределённо убывает в другом (как в случае с первой последовательностью); или же, если некто заявит, что это так, то это будет только крайне некорректным примером "оборота речи", как и в случае рассмотрения чисел "меньших нуля". В реальности эта последовательность неопределённо возрастает равным образом в обоих направлениях, поскольку по каждую сторону от нуля содержится одинаковая последовательность целых чисел; в чисто количественном отношении должен приниматься во внимание только так называемый "модуль" числа – ещё одно весьма причудливое выражение – в то время как положительный или отрицательный знак ничего не меняют в этом плане, поскольку в реальности они выражают не более чем разницу в "положении", как мы только что пояснили. Таким образом, отрицательное неопределённое никоим образом не сопоставимо с неопределённо малым; напротив, оно составляет одно целое с неопределённо большим, так же как положительное неопределённое; единственная разница, которая не является разницей количественного порядка, состоит в том, что отрицательное неопределённое разворачивается в другом направлении, что абсолютно легко уяснить в случае с пространственными и временными величинами, но полностью лишено смысла в случае арифметических величин, для которых такое развёртывание с необходимостью однозначно, поскольку оно не может представлять собой что-либо иное, нежели саму последовательность целых чисел.

Среди иных причудливых алогичных следствий нотации отрицательных чисел следует также указать понятие так называемых "мнимых" чисел, которые были введены при решении алгебраических уравнений и которые, как мы видели, рассматривались Лейбницем как принадлежащие тому же уровню, что и бесконечно малые величины, а именно уровню так называемых им "прочно укоренённых фикций". Эти величины (или то, что так называется) выражаются как корни из отрицательных чисел, хотя в рельности это соответствует только абсолютной невозможности, поскольку, является ли число положительным или отрицательным, его квадрат обязательно всегда представляет собой положительное число в силу самих правил алгебраического умножения. Даже если бы удалось придать этим "мнимым" числам какой-либо иной смысл – мы не будем рассматривать здесь эту возможность – всё же достаточно очевидно, что теория этих чисел и их приложения к аналитической геометрии, в том виде, в каком они выступают в работах современных математиков, представляют собой не что иное, как поистине паутину противоречивых и даже абсурдных соображений; всё это есть просто продукт того стремления к излишним и абсолютно искуственным обобщениям, которое не останавливается даже перед лицом явно противоречивых суждений; некоторые такие теоремы, как, например, касающиеся "асимптот окружности", достаточно явно показывают, что наше замечание отнюдь не преувеличено. Можно сказать, что такие построения уже не принадлежат, собственно говоря, области геометрии, а, как и рассмотрение "четвёртого измерения" пространства5, принадлежат исключительно области алгебры, переведённой на язык геометрии*; но именно по причине возможности такого (как и обратного) "перевода" некоторые склонны переносить некоторые вопросы в области, где они не имеют вовсе никакого смысла, и это действительно представляет собой проблему, ибо это является симптомом бессмысленного смешения разнородных идей, равно как и крайним результатом вышеупомянутого "конвенционализма", который доводит некоторых до состояния полной потери ощущения реальности.

5 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 18 и 23.

* О "математизации" геометрии и физики континуалистами см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 111, 113; В.Н. Катасонов, указ. соч. (прим. перев.)

Глава 17.

Представление равновесия сил.

В связи с вопросом отрицательных чисел следует сделать небольшое отступление от основной темы нашего исследования и рассмотреть достаточно спорные последствия употребления этих чисел с точки зрения механики; вместе с тем, поскольку в силу своего предмета механика в действительности является разделом физики, сам тот факт, что она рассматривается как составная часть математики (в соответствии с тенденцией современной науки сводить всё исключительно к количественности), уже означает, что в ней имеют место достаточно странные искажения. Заметим только, что так называемые "принципы", на которых современные математики строят свою науку, в том виде, в каком они их принимают, могут считаться "принципами" только в полностью уничижительном смысле, поскольку они в действительности представляют собой более или менее обоснованные гипотезы или, в лучшем случае, только некоторые простые закономерности, которые являются общими до некоторой степени, может быть, более общими, чем некоторые другие, если угодно, но которые всё же не имеют ничего общего с истинными универсальными принципами; в науке, сформированной в согласии с точкой зрения традиции, законы механики самое большее могут быть просто приложениями принципов традиции к некоторой более обусловленной области. Не будем вдаваться в длинные пояснения, а дадим всего один пример из первой группы так называемых "принципов" – так называемый "принцип инерции". Этот "принцип" ничто не способно обосновать: ни опыт, который наоборот показывает, что инерция не играет никакой роли в природе, ни разум, который не может усвоить эту так называемую инерцию, понятие которой состоит только в полном отсутствии свойств. Можно с полным основанием применить подобное понятие для обозначения чистой потенциальности универсального субстрата или materia prima схоластов, который, вместе с тем, именно по этой причине собственно "непознаваем"; но эта materia prima, очевидно, представляет собой нечто совершенно иное, нежели "материя" физиков1. Примером "принципов" второй группы может быть так называемый "принцип равенства действия и противодействия", который в действительности вообще не является никаким "принципом", поскольку просто выводится из общего закона равновесия природных сил: как только это равновесие неким образом нарушается, оно сразу же стремится восстановить своё прежнее состояние, из чего и происходит противодействие, сила которого равна силе вызвавшего его действия. Поэтому это только простой частный случай того, что в дальневосточной традиции называется "гармонией действий и противодействий", принципа, затрагивающего не только телесный мир, как законы механики, а всю совокупность проявления во всех её видах и состояниях; и мы намерены уделить некоторое внимание этому вопросу равновесия и его математическому представлению, поскольку он достаточно важен, чтобы заслуживать внимания.

1 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 2.

Две силы, находящиеся в равновесии, обычно изображаются двумя противоположными "векторами", то есть двумя отрезками одинаковой длины, направленными в разные стороны: если две силы, приложенные к одной точке, одинаковы по величине и приложены вдоль одной линии, но с разных сторон, они находятся в равновесии; поскольку в точке их приложения не происходит действия, иногда говорят, что они взаимно погашаются, хотя такая точка зрения игнорирует тот факт, что при уменьшении величины одной из сил другая сразу начнёт действовать, что показывает, что они в действительности не погашаются. Силы выражаются численными показателями, пропорциональными их величине, и двум силам противоположного направления даются показатели с разными знаками, один положительный, другой отрицательный, так что если один обозначается f, то другой –f'. В только что рассмотренном случае, когда силы равны по величине, их показатели одинаковы, поскольку равны их "модули"; таким образом, f = f', из чего получаем условие равновесия: f – f' = 0, что означает, что алгебраическая сумма этих двух сил или двух обозначающих их "векторов" равна нулю; таким образом, равновесие выражается нулём. Поскольку нуль некорректно рассматривается математиками как некое обозначение ничтожности, как мы уже отмечали – как будто ничто может быть выражено каким-либо символом – такой результат должен означать, что равновесие является состоянием несуществования, что представляет собой довольно странный вывод; тем не менее можно с уверенностью сказать, что именно по причине такого взгляда, вместо выражения "две силы взаимно нейтрализуют друг друга" (что было бы точнее) употребляют выражение "силы взаимно погашаются", что противоречит природе вещей, как демонстрирует приведённое нами простейшее наблюдение.

Подлинное понятие равновесия представляет собой нечто совершенно иное. Для того чтобы понять его суть, следует уяснить, что все природные силы, не только механические (которые, напомним ещё раз, представляют собой только их частный случай), но силы тонкого порядка, так же как силы телесного порядка, бывают двух видов: силы притяжения и силы отталкивания; первые можно охарактеризовать как силы сжатия или сокращения, а вторые как силы расширения или растяжения2, и в сущности эти силы представляют собой не более чем выражение в некоторой частной области всего фундаментального дуализма космоса. Нетрудно уяснить, что при наличии изначально однородной среды сокращению в некоторой точке будет с необходимостью соответствовать равнозначное расширение в другой точке и наоборот, таким образом, два таких центра сил должны рассматриваться во взаимосвязи, поскольку один не может существовать без другого; это можно назвать принципом полярности, и он во всех своих различных формах применим ко всем природным явлениям, поскольку он также проистекает из дуализма самих принципов, управляющих всем проявлением; в той частной области, которой занимаются физики, этот принцип наглядно проявляется прежде всего в электрических и магнитных явлениях, но ни в коем случае не ограничивается ими. Итак, если две силы – одна сила расширения, а другая сила сокращения – воздействуют на одну точку приложения, тогда условием их равновесия или нейтрализации друг друга, то есть условием, при котором не произойдёт ни расширения, ни сокращения, будет равнозначность этих двух сил; мы не говорим "равенство", поскольку это силы разного рода и поскольку, тем самым, рассматриваемое различие этих сил представляет собой явление чисто качественного, а не просто количественного характера. Рассматриваемые силы могут быть выражены показателями, пропорциональными величине производимого ими сжатия или расширения; таким образом, если рассматривать силы сжатия и расширения вместе, первая будет иметь показатель n > 1, а вторая – показатель n' < 1; каждый из этих показателей представляет собой отношение плотности среды, окружающей рассматриваемую точку, при воздействии соответствующей силы к изначальной плотности среды (которая рассматривается как однородная при отсутствии воздействия каких-либо сил в силу обычного применения принципа достаточного основания)3. Если не происходит ни сжатия, ни расширения, отношение рассматриваемых показателей будет равно единице, поскольку плотность среды не меняется; для поддержания равновесия сил, воздействующих на точку, их равнодействующая должна быть равна единице. Нетрудно заметить, что эта равнодействующая представляет собой произведение, а не (как в обычной, рассмотренной ранее, концепции) сумму показателей двух рассматриваемых сил; эти два коэффициента, n и n', поэтому должны быть обратными друг другу числами: n' = 1/n, и тогда в качестве условия равновесия получим: (n) (n') = 1; таким образом, равновесие будет выражаться не нулём, а единицей4.

2 Если рассмотреть пример центростремительных и центробежных сил, нетрудно уяснить, что первые подпадают под категорию сил сжатия, а вторые под категорию сил расширения; подобным образом, сила трения может пониматься как сила расширения, поскольку она развивается от точки её приложения, а импульс силы может пониматься как сила сжатия, поскольку он наоборот развивается по направлению к точке приложения; но если рассматривать эти процессы с точки зрения точки исхода силы, картина будет обратной, и, вместе с тем, можно сказать, этого требует сам принцип полярности. В других областях сжатию и расширению могут соответствовать герметические понятия "свёртывания" и "растворения".

3 Упоминая принцип достаточного основания, мы, конечно, имеем в виду только этот принцип сам по себе, оставляя в стороне его более частные и в некоторой мере сомнительные формы, в которые его облекают Лейбниц или другие исследователи.

4 Эта формула в точности соответствует концепции равновесия двух взаимосвязанных принципов ян и инь в дальневосточной космологии.

Далее мы будем иметь возможность пояснить, что определение равновесия как единицы – а это его единственное реальное определение – соответствует тому факту, что единица занимает срединное положение во вдвойне неопределённой последовательности целых чисел и обратных им чисел, в то время как в искусственной последовательности положительных и отрицательных чисел это срединное положение как бы узурпировано нулём. Отнюдь не представляя собой состояние несуществования, равновесие напротив представляет собой существование, взятое само по себе, независимое от своих вторичных множественных проявлений; вместе с тем, оно определённо не представляет собой Небытие в метафизическом смысле этого слова, ибо существование, даже в этом его изначальном нерасчленённом состоянии, всё же является отправной точкой всех разнообразных проявлений, так же как единица является отправной точкой всей множественности чисел. Эта рассмотренная нами единица, являющаяся выражением равновесия, представляет собой то, что в дальневосточной традиции называется "неизменной серединой"; и согласно этой традиции, это равновесие или гармония является отражением "деятельности неба" в центре каждого состояния и каждой модальности бытия.

Глава 18.

Переменные и постоянные величины.

Теперь следует вернуться к вопросу обоснования строгости исчисления бесконечно малых. Мы уже заметили, что Лейбниц считает величины равными, когда их разница, хотя и не равная строго нулю, всё же является несравнимой по отношению к самим величинам; иными словами, бесконечно малые величины, хотя и не представляют собой nihila absoluta (абсолютно ничто), тем не менее представляют собой nihila respectiva (относительное ничто), и относительно обычных величин ими следует пренебрегать. К сожалению, понятие "несравнимости" слишком расплывчато, чтобы довод, основанный на таком понятии, был достаточным для полного обоснования строгого характера исчисления бесконечно малых; с этой точки зрения исчисление бесконечно малых представляется скорее методом неопределённого приближения, и мы не можем вместе с Лейбницем сказать, что "как только это прояснено, следует не только, что погрешность бесконечно мала, но и что она вовсе ничтожна"1; но не существует ли более строгих средств прийти к такому заключению? Следует по меньшей мере признать, что погрешность, возникающая в вычислениях, может быть сведена к сколь угодно малой, что уже представляет собой кое-что; но устраняет ли именно этот бесконечно малый характер погрешности эту погрешность полностью, если рассматривать не только ход вычислений, но и их конечные результаты?

1 Отрывок, датированный 26 марта 1676 года.

Бесконечно малая разница, то есть неопределённо убывающая разница может быть разницей только между двумя переменными величинами, ибо очевидно, что разница между двумя постоянными величинами может быть только постоянной величиной; поэтому бессмысленно говорить о бесконечно малой разнице между двумя постоянными величинами. Следовательно, можно сказать, что две постоянные величины "строго равны в тот момент, когда их предполагаемая разница может считаться сколь угодно малой"2; в то же время, "исчисление бесконечно малых, как и всякое обычное исчисление, собственно рассматривает только постоянные и находимые величины"3; коротко говоря, оно вводит переменные величины только в качестве вспомогательных, имеющих исключительно преходящий характер, и эти переменные должны устраняться из результатов, которые должны выражать только отношения между постоянными величинами. Таким образом, для получения этих результатов следует перейти от рассмотрения переменных величин к рассмотрению постоянных величин; и этот переход своим результатом имеет как раз устранение бесконечно малых величин, которые по своей сущности являются переменными, и которые могут выступать только как разницы между переменными величинами.

2 Карно, R?flexions sur la M?taphysique du Calcul infinit?simal, с. 29.

3 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinit?simale, предисловие, с. viii.

Теперь нетрудно уяснить, почему в приведённом ранее отрывке Карно настаивал на том, что бесконечно малые величины, при оперировании ими в исчислении, могут быть заданы сколь угодно малыми "без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми они сравниваются". Это возможно, потому что эти последние должны фактически быть постоянными величинами; верно, что в исчислении они рассматриваются как пределы переменных величин, но переменные играют роль простых вспомогательных средств, как и возникающие вместе с ними бесконечно малые величины. Суть обоснования строгого характера исчисления бесконечно малых состоит в том, что в результатах должны фигурировать только постоянные величины; поэтому в рамках исчисления в конечном итоге необходимо перейти от переменных величин к постоянным величинам – и это действительно "переход к пределу", но не как у Лейбница, поскольку не существует окончательного значения или "конечного члена" варьирования; итак – и это крайне важно – при этом переходе устраняются переменные величины и устраняются просто путём подстановки постоянных величин вместо переменных величин4.

4 Ср.: Ш. Фрейсине, там же, с. 220: "Уравнения, которые Карно называл "несовершенными", являются, собственно говоря, незавершёнными уравнениями или уравнениями перехода, которые являются строгими в той мере, в какой служат только для вычисления пределов; напротив, они будут абсолютно неверны, если не будут находиться их пределы. Чтобы избежать сомнений относительно значений проходимых отношений, достаточно помнить о действительном предназначении вычислений. В случае каждого отношения следует рассматривать не то, что оно пытается выражать в настоящий момент, а то, что оно будет выражать позже, после того, как будут найдены его пределы".

Но следует ли рассматривать устранение переменных величин всего лишь как результат простого "уравнивания погрешностей", как у Карно? Мы считаем, что нет. И, кажется, что действительно в этом вопросе можно усмотреть больший смысл, если провести различие между переменными и постоянными величинами и отнести их как бы к двум отдельным областям, между которыми, несомненно, существует некоторое соотношение и аналогия (что, вместе с тем, необходимо для обеспечения возможности перехода между ними, каким бы образом такой переход ни осуществлялся) – но учитывая, что их фактические отношения никогда не устанавливают какого-либо рода взаимопроникновение или тем более непрерывность; кроме того, это означает, что между этими двумя видами величин существует принципиально качественное различие – в полном согласии со сказанным ранее по поводу понятия предела. Лейбниц так и не провёл этого чёткого различия, и этому, несомненно, мешала его концепция универсальной континуальности; он был неспособен увидеть, что "предельный переход" в принципе подразумевает дискретность, по той причине что он не признавал дискретность. Однако, именно одно это различие позволяет нам сформулировать следующее утверждение: если разница между двумя переменными величинами может быть сведена к сколь угодно малой, то постоянные величины, соответствующие этим переменным и рассматриваемые как их пределы, являются строго равными. Таким образом, бесконечно малая разница никогда не может стать нулевой; но такая разница может существовать только между переменными, а между соответствующими постоянными величинами разница действительно должна быть нулевой; из этого непосредственно следует, что погрешности, которая может быть сведена к сколь угодно малой, в области переменных величин (в которой, собственно, не может быть и речи о чём-то большем, нежели неопределённое приближение, именно по причине самого характера этих величин) с необходимостью соответствует погрешность, являющаяся нулевой, в области постоянных величин. Истинное обоснование строгости исчисления бесконечно малых заключается, в принципе, единственно в этом соображении, а не в каких-либо иных, которые, что бы они из себя ни представляли, всегда являются более или менее частными по отношению к сути вопроса.

Глава 19.

Последовательное дифференцирование.

Изложенное до сих пор всё же не устраняет проблемы различных уровней бесконечно малой величины: как можно считать величины бесконечно малыми не только в отношении к обычным величинам, но и в отношении к другим бесконечно малым величинам? Здесь Лейбниц снова прибегает к понятию "несравнимых", но оно слишком невнятно, чтобы удовлетворить потребностям такого объяснения, и оно не поясняет достаточным образом возможность последовательного дифференцирования. Эта возможность может быть пояснена на примере из механики: "?dx по отношению к dx является тем же, что conatus [импульс силы] по отношению к силе или центробежное ускорение по отношению к скорости"1. И далее Лейбниц развивает эту идею в ответ на возражения голландского математика Нейвентейта, который, признавая дифференциалы первого порядка, считал дифференциалы высших порядков только нулевыми величинами:

Обычная величина, первая бесконечно малая или дифференциальная величина и вторая бесконечно малая или дифферо-дифференциальная величина относятся друг к другу как движение, скорость и побуждение2, которое является составной частью скорости. Движение описывается линией, скорость – элементом линии, а побуждение – элементом элемента3.

1 Письмо Гюйгенсу, между 1 и 11 октября 1693 года.

2 Под "побуждением" подразумевается то, что обычно обозначается термином "ускорение".

3 Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentijt circa Methodum differentialem seu infinitesimalem notas (Ответ по поводу нескольких проблем, указанных г-ном Бернардом Нейвентейтом в отношении дифференциального или инфинитезимального метода), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1695.

Но здесь приведён только частный случай или пример, который может служить только простой "иллюстрацией", а не доводом, и необходимо представить обоснование общего порядка (которое, вместе с тем, в некотором смысле неявно содержится в приведённом примере).

В самом деле, дифференциалы первого порядка выражают приращения – или, лучше сказать, изменения, поскольку в зависимости от конкретного случая, они могут как прирастать, так и убывать – получаемые в каждый момент времени обычными величинами; например, такое приращение выражает скорость относительно покрываемого в ходе некоторого движения расстояния. Таким же образом дифференциалы некоторого порядка выражают мгновенные изменения дифференциалов предыдущего порядка, которые, в свою очередь, берутся как величины, существующие в пределах некоторого интервала; таково ускорение по отношению к скорости. Таким образом, различие между разными уровнями бесконечно малых величин на самом деле заключается в рассмотрении различных степеней варьирования, а не в рассмотрении несравнимых величин.

Чтобы чётко обозначить ход наших мыслей, сделаем следующее простое замечание: между самими переменными можно установить различия, аналогичные различиям, установленным ранее между постоянными и переменными величинами; при таких условиях, если вернуться к определению Карно, величина называется бесконечно малой по отношению к другим величинам, если её можно задать сколь угодно малой "без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми она сравнивается". Это возможно по той причине, что величина, которая не является абсолютно постоянной, и даже величина, которая в принципе является переменной, – как бесконечно малые величины, какого бы то ни было порядка, – тем не менее может рассматриваться как постоянная и находимая, то есть способная выполнять роль постоянной величины по отношению к некоторым другим величинам. Только при этих условиях переменная величина может рассматриваться как предел другой переменной, которая, в силу самого определения понятия "предел", должна рассматриваться как постоянная, по крайней мере, с некоторой точки зрения, а именно по отношению к тому, пределом чего она является; и наоборот, величина может быть переменной не только сама по себе или, что то же самое, по отношению к абсолютно постоянным величинам, но даже по отношению к другим переменным, в той мере, в какой они рассматриваются как относительно постоянные.

Вместо того чтобы в этом отношении говорить о степенях варьирования, как мы делали только что, можно равным образом говорить о степенях неопределимости, что в принципе представляет собой то же самое, только с несколько иной точки зрения: величина, хотя и неопределимая по своей природе, тем не менее может быть определимой (находимой) в относительном смысле путём введения некоторых допущений, которые в то же время сохраняют неопределимость других величин; эти последние величины поэтому будут, так сказать, более неопределимыми, чем остальные, или неопределимыми в большей степени, и поэтому они будут соотноситься с остальными величинами некоторым образом, сопоставимым с отношением собственно неопределимых величин к истинно определимым величинам. Мы ограничимся этими замечаниями по предмету, ибо, каков бы ни был их итог, мы считаем, что во всяком случае они достаточны для понимания возможности существования дифференциалов различных последовательных уровней; но в связи с этим вопросом всё же следует более ясно показать, что в действительности не существует логических препятствий для рассмотрения множественных степеней неопределённости, применительно как к убывающим величинам, к которым относятся бесконечно малые и дифференциалы, так и к возрастающим величинам, в случае которых также можно рассматривать интегралы различных порядков, которые как бы симметричны по отношению к дифференциалам различных порядков; вместе с тем, это наблюдение согласуется с тем соответствием, которое существует между явлениями неопределённо возрастающего и неопределённо убывающего, как мы поясняли ранее. Разумеется, всё это представляет собой только вопрос различных степеней неопределённости, а не "степеней бесконечности" в понимании Иоганна Бернулли, идею которых Лейбниц не решился ни принять, ни явно отвергнуть; это ещё один пример того, что известные проблемы могут быть незамедлительно разрешены путём замены понятия так называемого бесконечного понятием неопределённого.

Глава 20.

Различные порядки неопределённости.

Логические проблемы и даже противоречия, с которыми сталкиваются математики при рассмотрении "бесконечно больших" или "бесконечно малых" величин, различающихся между собой и даже принадлежащих различным порядкам, происходят единственно из того факта, что математики рассматривают в качестве бесконечного то, что является попросту неопределённым. В целом они не склонны обращать внимание на эти проблемы, но всё же эти проблемы существуют и не становятся от этого менее серьёзными, ибо они способствуют появлению в математической науке множества нелогичностей или, если угодно, "паралогичностей", и такая наука теряет всякое реальное значение и смысл в глазах тех, кто не позволяет затуманивать своё мышление простой игрой слов. Приведём некоторые примеры противоречий, проистекающих из построений тех учёных, которые допускают существование бесконечных величин, при приложении ими этого понятия к геометрическим величинам: если прямая считается бесконечной, то её бесконечность должна быть меньше и даже бесконечно меньше, чем бесконечность поверхности, например, плоскости, в которой содержится как эта линия, так и бесконечное число других линий, а бесконечность плоскости будет, в свою очередь, бесконечно меньшей, чем бесконечность трёхмерного пространства. Самой невозможности сосуществования всех этих якобы бесконечностей, некоторые из которых считаются бесконечными в одинаковой степени, а другие в разной степени, достаточно, чтобы доказать, что ни одна из них не может быть поистине бесконечной, даже помимо рассмотрений каких-либо соображений более высокого метафизического порядка. Поскольку значение этих истин, безусловно, невозможно переоценить, снова считаем необходимым повторить: очевидно, что, если предполагать наличие множественности различных бесконечных, каждое из них будет ограничено другим, что равнозначно тому, что они будут исключать друг друга. При этом, "инфинитисты" (у которых это словесное нагромождение "бесконечности бесконечностей", по правде говоря, кажется, производит некоторую, если можно так выразиться, "умственную интоксикацию") не отступают перед лицом таких противоречий, поскольку, как уже было сказано, они не видят проблемы в утверждении существования различных бесконечных чисел и, следовательно, в утверждении, что одна бесконечность может быть больше или меньше другой; но абсурдность таких утверждений слишком очевидна, и тот факт, что они широко употребляются в современной математике, ничего не меняет, но только показывает, до какой степени в наше время утеряно чувство элементарной логики. Ещё одно не менее вопиющее противоречие может быть обнаружено в случае примера с замкнутой, следовательно, очевидно и наглядно конечной поверхностью, которая тем не менее (как утверждается) содержит бесконечное количество линий – например, сфера, которая содержит бесконечное количество окружностей; здесь мы имеем конечную ёмкость, содержимое которой бесконечно – как, вместе с тем, обстоит дело и в том случае, когда признаётся (как у Лейбница) "актуальная бесконечность" элементов непрерывного множества.

Напротив, нет никакого противоречия в допущении сосуществования множества неопределённых величин различных порядков. Так, линия, неопределённая в одном измерении, может в этом смысле рассматриваться как составляющая простую неопределённость первого порядка; поверхность, неопределённая в двух измерениях и объемлющая неопределённое множество неопределённых линий, может рассматриваться как неопределённость второго порядка; а трёхмерное пространство, объемлющее неопределённое количество неопределённых поверхностей, таким же образом будет неопределённостью третьего порядка. Здесь важно ещё раз подчеркнуть, что, как мы сказали, "поверхность объемлет неопределённое количество линий", а не "состоит из неопределённого количества линий", так же как линия не состоит из точек, а скорее заключает в себе неопределённое множество точек; то же самое в случае объёма по отношению к поверхностям – трёхмерное пространство является ничем иным, как неопределённым объёмом*. Вместе с тем, всё это, по сути, повторяет сказанное нами по поводу "неделимых" и "структуры континуума"; как раз вопросы такого рода, именно в силу их сложности, требуют наиболее строгого изложения. В этом отношении также следует добавить, что если с некоторой точки зрения можно обоснованно считать, что линия порождается точкой, поверхность линией, а объём поверхностью, это в сущности предполагает, что точка, линия или поверхность смещаются посредством непрерывного движения, включающего неопределённое множество последовательных** положений; и такой способ рассмотрения совершенно отличен от рассмотрения всех этих положений по отдельности, то есть от рассмотрения этих точек, линий и поверхностей как постоянных и определённых, в качестве составляющих части или элементы линии, поверхности или объёма, соответственно. Таким же образом, только наоборот, при рассмотрении поверхности как пересечения двух объёмов, линии как пересечения двух поверхностей и точки как пересечения двух линий, эти пересечения, конечно же, никоим образом не должны рассматриваться как части объёмов, поверхностей и линий; они представляют собой только их пределы или края, как заметил Лейбниц.

* Здесь Генон скорее сближается со взглядами тех континуалистов, которые считали, что континуум получает протяжённость и непрерывность не посредством "движения" своих составляющих, а посредством самого себя (см. прим. к гл. 15). В любом случае, взгляды Генона на природу континуума, как и на дискретную онтологию, не обнаруживают "наиболее строгого изложения", а являются крайне невнятными, что ярко проявляется в гл. 23. (прим. перев.)

** "Последовательность" может иметь место только в случае дискретного, но не континуального. О взглядах Генона на "порождение" линии, плоскости и т.д. "движением" см. прим. к гл. 15. (прим. перев.)

Согласно только что сказанному, каждое измерение как бы вводит новый градус неопределимости в пространство, то есть в пространственный континуум, поскольку он подвержен неопределённому возрастанию протяжённости, и таким образом каждое измерение составляет то, что можно обозначить как последовательные степени неопределённого1; и можно сказать, что неопределённая величина некоторого порядка или степени содержит неопределённое множество неопределённых величин низшего порядка или предыдущей степени. Поскольку применительно ко всему этому речь идёт только о неопределённом, эти соображения, так же как и иные подобного рода, имеют совершенно приемлемый характер при любой точке зрения, ибо между множественными различными неопределёнными величинами не существует несовместимости, так как эти величины, несмотря на их неопределённость, всё же в принципе конечны по своей природе и, как и все иные частные и обусловленные возможности, ввиду этого прекрасно могут сосуществовать внутри всеобщей Всевозможности – а одна лишь она является бесконечной, поскольку она тождественна универсальному Всему2. Эти же самые соображения принимают невозможные и абсурдные формы только когда неопределённое смешивается с бесконечным; так, в случае понятия "бесконечного множества" мы снова имеем пример, в котором кроется противоречие, присущее так называемому обусловленному бесконечному, – оно искажает здесь другую идею, идею множества, хотя саму по себе не противоречивую, но этим самым превращаемую практически в неузнаваемую.

1 Ср.: Символизм креста, гл. 12.

2 Ср.: Множественность состояний сущего, гл. 1.

Мы только что говорили о различных степенях неопределимости в отношении величин, взятых в порядке возрастания; применяя то же понятие к порядку убывания, мы выше уже обосновали соображение различных порядков бесконечно малых величин, возможность которых тем более очевидна в свете отмеченного нами ранее соответствия между неопределённо возрастающими и неопределённо убывающими величинами. Среди неопределённых величин различных порядков величины, принадлежащие к порядкам после первого, всегда будут неопределённы по отношению к величинам предыдущего порядка, а также по отношению к определённым величинам; и, в свою очередь, в отношении бесконечно малых величин различных порядков равным образом можно обоснованно считать, что величины каждого из порядков являются бесконечно малыми не только по отношению к обычным величинам, но и по отношению к бесконечно малым величинам предыдущих порядков3. Не существует абсолютной разнородности между неопределёнными величинами и обычными величинами, как и между бесконечно малыми величинами и обычными величинами; коротко говоря, это вопрос различия только в степени, но не в роде, поскольку в действительности рассмотрение неопределённости любого порядка или степени никогда не выводит нас за пределы области конечного; к тому же видимость коренной разнородности между различными порядками величин (по сути, совершенно невнятная) становится возможной только в результате ошибочного представления о бесконечном. Для устранения такой разнородности должен быть введён тип континуальности, весьма отличный от рассмотренного Лейбницем в отношении переменных и их пределов и значительно лучше укоренённый в реальности, ибо вопреки конструкциям Лейбница различие между переменными и постоянными величинами в принципе подразумевает различие их природы.

3 Согласно установившейся практике, мы употребляем термин "инфинитезимальные" [infinitesimal] (бесконечно малые) для обозначения неопределённо убывающих величин, а неопределённо возрастающие величины называем просто "неопределёнными"; достаточно странно, что Карно называл и те, и другие "инфинитезимальными" [infinitesimal], вопреки не только установившейся практике, но и очевидному происхождению этого термина. Хотя мы и продолжаем употреблять термин "бесконечно малые" ["инфинитезимальные" – infinitesimal], мы должны заметить, что этот термин обладает одним существенным недостатком, а именно, он очевидно происходит от слова "бесконечный" ["infinitesimal" от "infinity" – прим. перев.], что едва ли позволяет ему соответствовать обозначаемой им идее; для адекватного его употребления следует, так сказать, не принимать во внимание его происхождения или, по крайней мере, придать ему чисто "исторический" характер, как проистекающему из концепции "прочно укоренённых фикций" Лейбница.

При таких условиях, сами обычные величины могут некоторым образом рассматриваться как бесконечно малые относительно неопределённо возрастающих величин, по крайней мере, при рассмотрении переменных, ибо, если величина может быть задана столь большой, сколь угодно относительно другой, то, в свою очередь, эта другая будет подобным образом столь малой, сколь угодно относительно первой. Мы заметили, что должны рассматриваться переменные, потому что бесконечно малая величина всегда должна пониматься как в принципе переменная, и это ограничение свойственно самой её природе; вместе с тем, величины, принадлежащие двум различным порядкам неопределённости, неизбежно являются переменными относительно друг друга, и это свойство взаимной и обоюдной переменности совершенно симметрично, ибо, согласно сказанному только что, считать одну величину неопределённо возрастающей относительно другой равнозначно тому, чтобы считать эту другую величину неопределённо убывающей относительно первой; без этой взаимной переменности не может быть ни неопределённого возрастания, ни неопределённого убывания, а только определённые находимые соотношения между двумя величинами.

Таким же образом, если имеет место изменение положения двух тел А и Б, сказать, что тело А находится в движении относительно тела Б равнозначно тому, чтобы сказать, что тело Б находится в движении относительно тела А, по крайней мере, если рассматривать только изменение их положения само по себе; в этом отношении, понятие взаимного движения являтся столь же симметричным, как и только что рассмотренное понятие взаимной переменности. Поэтому, согласно Лейбницу – который использовал это понятие для демонстрации недостаточности картезианского механицизма как физической теории, стремившейся дать объяснения всем природным явлениям, – невозможно различить состояния движения и покоя при рассмотрении только изменений положения; для их различения необходимо привлечь нечто иного порядка, а именно понятие силы, которая является непосредственной причиной таких изменений, и которая может быть приписана только одному телу, и, таким образом, обнаруживает нахождение причины изменений в одном теле и только в нём одном4.

4 См.: Лейбниц, Discours de M?taphysique, гл. 18; ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 14.

Глава 21.

Аналитическая неисчерпаемость неопределённого.

В двух только что рассмотренных случаях, то есть случаях неопределённого возрастания и неопределённого убывания, величина некоторого уровня может рассматриваться как сумма неопределённого количества элементов, каждый из которых представляет собой бесконечно малую величину относительно всей суммы. Вместе с тем, чтобы говорить о бесконечно малых величинах, необходимо рассматривать величины, которые ненаходимы по отношению к их сумме, а так обстоит дело, когда сумма является неопределённой по отношению к рассматриваемым элементам; это непосредственно следует из сущностной природы неопределённости, поскольку неопределённость с очевидностью подразумевает идею "становления", как мы уже указывали ранее, и, следовательно, некоторую ненаходимость. Естественно, само собой разумеется, что эта ненаходимость может быть только относительной и существует только с определённой точки зрения или относительно чего-то иного: например, некоторая сумма является обычной величиной и, следовательно, не является неопределённой сама по себе, но только относительно своих бесконечно малых составляющих; во всяком случае, если пойти иным путём и не вводить наше понятие ненаходимости, следовало бы вернуться к понятию "несравнимых", понимаемых в грубом смысле сопоставления песчинки с землей, а земли с небосводом.

Рассматриваемая нами сумма никоим образом не может быть получена по способу арифметической суммы, поскольку для этого было бы необходимо произвести неопределённый ряд последовательных сложений, что заключает в себе противоречие; в случае, когда сумма представляет собой обычную находимую величину, очевидно, необходимо (как мы уже замечали, когда излагали определение интегрального исчисления), чтобы число, или скорее множество, элементов неопределённо возрастало, в то время как их величина неопределённо убывает, и в этом смысле неопределённость элементов множества поистине неисчерпаема. Но если сумма не может быть получена таким образом, в качестве окончательного результата множества отдельных последовательных операций, она, с другой стороны, может быть схвачена разом, посредством одной операции – интегрирования1; это операция обратная дифференцированию, поскольку она вопроизводит сумму, идя от её бесконечно малых элементов, в то время как дифференцирование наоборот идёт от суммы к составляющим элементам, делая возможным нахождение формулы мгновенных изменений заданной в выражении величины.

1 Устоявшиеся термины "интеграл" и "интегрирование" принадлежат не Лейбницу, а Иоганну Бернулли; вместо них Лейбниц употреблял только слова "сумма" и "суммирование" – недостаток этих терминов в том, что они могут подразумевать аналогию между рассматриваемой операцией и составлением арифметической суммы; мы говорим "могут подразумевать", поскольку достаточно очевидно, что существенная разница между этими операциями не могла быть неясной Лейбницу.

Таким образом, во всех случаях рассмотрения неопределённости понятие арифметической суммы неприменимо, и мы обращаемся к понятию интегрирования, чтобы восполнить невозможность "счёта" бесконечно малых элементов – невозможность, которая, конечно, следует из самой природы этих элементов, а не из недостатков наших средств измерения. Попутно можно заметить, что в приложении к геометрическим величинам (каковое приложение, в конечном итоге, представляет собой собственно предназначение исчисления бесконечно малых) этот метод измерений абсолютно отличается от обычного метода, основанного на делении величины на конечные отрезки, который мы упоминали ранее, когда говорили о "единицах измерения". Этот последний метод сводится, коротко говоря, к замене континуального дискретным посредством "разрезания" суммы на отдельные отрезки, равные величине того же вида, взятой в качестве единицы измерения2, и использованию итогового числа непосредственно для измерения континуальных величин, что в действительности не может быть произведено без изменения природы континуальных величин и её, так сказать, приспособления к природе числа. Другой указанный нами метод, напротив, с максимальным уважением относится к истинному характеру континуального, рассматривая его как некоторую сумму элементов, которые являются постоянными и находимыми, но которые в принципе переменны и в силу своей переменности способны становиться меньше любой определимой величины; тем самым этот метод позволяет задавать пространственные величины между краями этих элементов сколь угодно малыми и поэтому представляет собой наименее ущербное из всех возможных представлений континуального варьирования, поскольку он учитывает природу числа, которая неизменна ни при каких обстоятельствах.

2 Или дроби этой величины, что не столь важно, поскольку дробь в таком случае будет составлять вторичную, меньшую единицу, которая будет заменять первую в случаях, когда деление на первую величину с точностью не выполнимо, и для получения точного (или, по крайней мере, более точного) результата используются дроби.

Эти наблюдения позволят яснее понять, в каком смысле можно говорить о том, что (как мы отмечали в начале данной главы) пределы неопределённого никогда не могут быть достигнуты посредством какой-либо аналитической процедуры или, иными словами, что неопределённое, не будучи абсолютно и во всех отношениях неисчерпаемым, всё же является неисчерпаемым, по крайней мере, аналитически. В этом смысле, аналитическими следует считать те процедуры, которые для воссоздания целого берут его элементы раздельно и последовательно; так происходит при составлении арифметической суммы, и именно в этом отношении она принципиально отличается от интегрального исчисления. Это особенно интересно с нашей точки зрения, ибо в этом соображении можно усмотреть, в качестве весьма ясного примера, истинное взаимоотношение между анализом и синтезом: вопреки распространённому мнению, согласно которому анализ является как бы подготовкой к синтезу или какой-то предварительной его стадией, такой, что всегда нужно начинать с анализа, даже если он не является непосредственной целью, – истина заключается в том, что никогда невозможно прийти к синтезу посредством анализа. Всякий синтез, в истинном смысле этого слова, является, так сказать, непосредственным, не предваряется анализом и абсолютно независим от него*, так же как интегрирование представляет собой операцию, выполняемую разом, ни в коей мере не предполагающую рассмотрение составляющих элементов, как в случае арифметического суммирования; и поскольку это арифметическое суммирование не может дать средств схватывания и исчерпывания неопределённого, неопределённое должно в каждой своей области представлять нечто, что по самой своей природе противится анализу и может быть познано только через синтез3.

* О значении синтетических заключений для метафизики см. напр.: Э. Корет, указ. соч., разд. 1.2.6.3. (прим. перев.)

3 Здесь и по ходу дальнейшего изложения следует принять во внимание, что мы употребляем термины "анализ" и "синтез" в их истинном изначальном смысле, который следует отделять от совершенно отличного и в значительной мере некорректного смысла, в котором нередко говорят о "математическом анализе", в согласии с которым само интегрирование, несмотря на его принципиально синтетический характер, считается частью "анализа бесконечно малых"; именно по этой причине мы предпочитаем избегать этого выражения, употребляя только выражения "исчисление бесконечно малых" и "метод бесконечно малых", которые не имеют подобной двусмысленности.

Глава 22.

Синтетический характер интегрирования.

В противоположность порядку составления арифметической суммы, который, как мы заметили, является строго аналитическим по своему характеру, интегрирование должно рассматриваться как принципиально синтетическая операция, то есть операция, которая одновременно схватывает каждый элемент искомой суммы, сохраняя тот характер "неразличимости", который свойственен частям континуального, поскольку по самой природе континуальности эти части не могут представлять собой нечто постоянное и находимое. Вместе с тем, этот характер "неразличимости" также должен сохраняться при вычислении суммы дискретных элементов неопределённой последовательности, хотя и по несколько иной причине, ибо, хотя величина каждого из этих элементов рассматривается как находимая, таковым не является общее число элементов, и даже можно более точно сказать, что их множество превосходит всякое число; тем не менее в некоторых случаях сумма элементов такой последовательности стремится к некоторому определённому пределу, даже когда их множество неопределённо возрастает. Хотя такие формулировки могут показаться с первого взгляда несколько необычными, можно сказать, что такая дискретная последовательность является неопределённой "по экстраполяции", в то время как непрерывное множество является неопределённым "по интерполяции"; этим подразумевается, что если взять некоторый отрезок дискретной последовательности, ограниченный двумя любыми её членами, такой отрезок никоим образом не будет неопределённым, поскольку он находим и измерим как в целом, так и в отношении своих элементов; неопределённость последовательности заключается в том, что она простирается за пределы этого отрезка, никогда не достигая конечного члена; напротив, неопределённость непрерывного множества, измеримого как непрерывное, заключается как раз внутри него, поскольку его элементы не находимы, и поскольку оно не имеет конечных членов (ибо континуальное всегда делимо); в этом смысле, оба этих случая как бы обратны друг другу. Суммирование неопределённой числовой последовательности никогда не завершится, если брать каждый член один за другим, поскольку не существует конечного члена, посредством которого последовательность могла бы завершиться; такое суммирование возможно только в случае, когда некоторая синтетическая процедура позволяет как бы разом схватить неопределённость, рассматриваемую в её целостности, что вовсе не подразумевает раздельное рассмотрение её элементов, что к тому же невозможно, в силу самого того факта, что они составляют неопределённое множество. И, подобным образом, когда некоторая неопределённая последовательность неявно дана в формуле её образования, как в случае последовательности целых чисел, можно сказать, что она дана полностью синтетическим образом и не может быть дана иным образом; в самом деле, задать такую последовательность аналитически означало бы задать каждый член по отдельности, что невозможно.

Поэтому при рассмотрении некоторого заданного примера неопределённости, будь то непрерывное множество или дискретная последовательность, в любом случае для достижения её границ необходимо прибегнуть к синтетической операции; пошаговое продвижение непригодно и никогда не может привести к цели, ибо такое продвижение может достичь конечного члена только при том двойном условии, что как этот член, так и число шагов, необходимых для его достижения, находимы. Поэтому мы не сказали, что границы неопределённого вовсе не могут быть достигнуты (что было бы неправомерно, учитывая, что эти границы действительно существуют), но сказали только, что они не могут быть достигнуты аналитически: неопределённое не может быть исчерпано пошагово, но оно может быть объято в его целостности посредством некоторых трансцендентных операций, классическим примером которых на уровне математики является интегрирование. Можно указать, что постепенное продвижение здесь в точности соответствует варьированию величины – в случае дискретной последовательности в прямом смысле, а в случае проистекающего из неё непрерывного варьирования, так сказать, в той степени, в которой позволяет дискретная природа числа; с другой стороны, синтетические операции мгновенно выводят нас за пределы области варьирования, что с необходимостью требуется (как указанно нами ранее) для действительного осуществления "предельного перехода"; иными словами, анализ относится только к переменным, взятым как раз в ходе их варьирования, в то время как только синтез способен достигать их пределов – таким образом, только синтез способен давать окончательные и поистине значимые результаты, поскольку, для того чтобы говорить о результатах, очевидно, необходимо достичь чего-то, относящегося исключительно к постоянным и находимым величинам.

Более того, конечно же можно обнаружить аналогичные синтетические операции в других областях помимо области количества, ибо идея неопределённого развёртывания возможностей, очевидно, применима и к другим областям, нежели количество, например, к некоторому состоянию проявленного существования и условиям любого характера, которым подвержено это состояние, рассмотренным по отношению как к космическому целому, так и к одному конкретному существу; то есть при рассмотрении как с "макрокосмической", так и с "микрокосмической" точки зрения1. Можно сказать, что в этом случае "предельный переход" соответствует окончательной фиксации результатов проявления на уровне принципов; в самом деле, только посредством этого существо в конечном итоге избавляется от того изменения или "становления", которое с необходимостью присуще всякому проявлению как таковому; и, таким образом, можно видеть, что эта фиксация никоим образом не является "конечным членом" развёртывания проявления, но скорее, что она в принципе расположена вне и над развёртыванием, поскольку принадлежит другому уровню реальности, трансцендентному по отношению к проявлению и "становлению"; в этом отношении, различие между уровнем проявления и уровнем принципов, таким образом, аналогически соответствует различию, установленному нами между переменными и постоянными величинами*. Более того, если рассматривать постоянные величины, очевидно, что в них не может быть внесено никакого видоизменения посредством какой бы то ни было операции и что, следовательно, "предельный переход" не может произвести ничего в этой области; и, равным образом, поскольку уровень принципов является незыблемым, достижение его не представляет собой "осуществление" чего-либо не существовавшего ранее, но скорее осуществлённое уяснение, неизменным и абсолютным образом, того, что есть**. С учётом предмета настоящего исследования мы, конечно, должны главным образом более подробно рассмотреть относящееся собственно к области количества, в которой, как мы видели, идея развёртывания возможностей претворяется в понятии варьирования, существующего в направлении как возрастания, так и убывания; но и этих немногочисленных примеров достаточно, чтобы показать, что при соответствующем аналогическом переложении всё это может получить несравненно больший смысл, чем при поверхностном рассмотрении, поскольку интегрирование и другие операции того же рода будут посредством такого переложения поистине выступать в качестве символов самой метафизической "реализации".

1 По поводу этого аналогического применения понятия интегрирования, ср.: Символизм креста, гл. 18 и 20.

* Здесь Геноном обозначен один из основных метафизических вопросов – сущности и явления. Из христианских атомистов, много внимания противоположности сущности и явления уделял Николай из Отрекура (см.: В.П. Зубов. Николай из Отрекура и древнегреческие атомисты. // Труды Института истории естествознания и техники АН СССР. т. 10, 1956); кардинально разводили сущность и явление богомилы (катары), Уиклиф, а также другие окказионалисты. В излагаемой Геноном оптике "уровень проявления" и "уровень принципов" должны соответствовать "Яви" и "Прави" в реконструкциях русского языческого традиционализма (см.: Ю.П. Миролюбов. Сакральное Руси. Москва, 1996). (прим. перев.)

** Ср. Э. Корет: "…метафизика – в отличие от эмпирических наук – вовсе не стремится сообщать или доказывать нечто совершенно новое, чего мы не знали бы уже прежде. Она должна обнаруживать то, что уже было "знакомо" [bekannt], но еще не было отчетливо "познано" [erkannt]. Речь идет о само собой разумеющемся, понятном из самого себя, но тем не менее неправильно понимаемом и требующем тщательного истолкования". (Указ. соч., разд. 1.2.6.1). (прим. перев.)

Вышеприведённые соображения позволяют увидеть всю глубину разницы между традиционной наукой, допускающей такие соображения, и профанной наукой модерна; и в этой связи мы сделаем ещё одно замечание по поводу различия аналитического и синтетического знания. Безусловно, профанная наука является в принципе исключительно аналитической; она никогда не переходит к рассмотрению принципов, вместо этого окунаясь с головой в детали явления, неопределённое и неопределённо изменяющееся множество которых для неё поистине неисчерпаемо, и, таким образом, ни при каких условиях не способна достичь некоего реального или окончательного результата в плане знания; она рассматривает только сами явления, то есть внешние проявления, и неспособна постичь суть вещей, за что Лейбниц упрекал картезианский механицизм. Вместе с тем, это один из мотивов, привлекаемых для объяснения современного "агностицизма", ибо, поскольку некоторые реалии могут быть познаны только синтетически, всякий, кто руководствуется исключительно анализом, таким образом, вынужден признать такие реалии "непознаваемыми", поскольку в этом отношении они действительно таковы – в точности так происходит и с теми, кто, придерживаясь аналитического способа рассмотрения неопределённого, считает его неопределённость абсолютно неисчерпаемой, в то время как в действительности она неисчерпаема только аналитически. В то же время, синтетическое знание можно назвать принципиально "всеохватывающим" знанием – таково, например, знание непрерывного множества или неопределённой последовательности, элементы которой не являются и не могут быть чётко заданными; но, помимо того факта, что в конечном итоге имеет значение именно только это знание, всегда можно – поскольку всё содержится в своём принципе – снизойти от него к рассмотрению каких угодно частностей; так, например, если некоторая неопределённая последовательность синтетическим образом дана в знании формулы её образования, в каждом конкретном случае всегда можно вычислить любой из её частных членов, в то время как напротив, если в качестве отправной точки брать эти же самые частные члены сами по себе во всех их неопределённых частностях, никак невозможно перейти к уровню принципов; и, как мы упоминали в начале данной книги, именно в этом смысле метод и точка зрения традиционной науки как бы противоположны методу профанной науки, как синтез противоположен анализу*. Вместе с тем, это только частное приложение той очевидной истины, что хотя "меньшее" может быть выведено из "большего", "большее" никак не может быть выведено из "меньшего"; тем не менее именно о таких стремлениях заявляет наука модерна с её механицистскими и материалистическими концепциями и исключительно количественной точкой зрения; но именно в силу невозможности этого такая наука в действительности не способна дать подлинного объяснения вообще чего бы то ни было2.

* О недостаточности аналитических суждений см. напр.: Э. Корет, указ. соч., разд. 1.2.6.3. (прим. перев.)

2 В связи с этим последним замечанием снова отсылаем к нашим соображениям, изложенным в книге Царство количества и знамения времени.

Глава 23.

Апории Зенона Элейского.

Только что изложенные соображения косвенно содержат решение всех проблем такого рода, как те, которые были подняты Зеноном Элейским в его знаменитых апориях против возможности движения или скорее в его соображениях, которые считаются апориями при рассмотрении их только в привычном изложении; на самом деле, можно вполне усомниться в том, что это был их истинный смысл. Действительно, достаточно маловероятно, что Зенон в самом деле намеревался отрицать движение; более вероятно, что он только хотел доказать несовместимость идеи движения с гипотезой, распространённой, прежде всего, у атомистов, о существовании в природе вещей реальной неразложимой множественности. Поэтому, вероятно, именно против этой идеи множественности в таком понимании были обращены его аргументы*; мы не говорим "против идеи множественности вообще", ибо множественность, безусловно, существует на свойственном ей уровне, как существует и движение, которое, вместе с тем, (как и всякий род изменения) с необходимостью подразумевает множественность. Но как движение, в силу своего характера мимолётного и преходящего изменения, не является самодостаточным и было бы абсолютно иллюзорным, не будь оно привязано к высшему трансцендентному ему принципу (как "недвижимый перводвигатель" Аристотеля), так и множественность не могла бы существовать, если бы могла сводиться к самой себе и не проистекала бы из единства, что математически выражается в образовании последовательности чисел, как мы уже показали. Более того, предположение о существовании неразложимой множественности неизбежно исключает всякие реальные связи между составными частями всех вещей и, следовательно, также всякую континуальность (непрерывность), ибо последняя представляет собой только частный случай или особую форму таких связей**. Как мы уже отмечали, атомизм с необходимостью подразумевает дискретность всех вещей; в конечном счёте, идея движения несовместима с этой дискретностью***, и мы увидим, что именно это показано в апориях Зенона Элейского.

* Апории Зенона были направлены как против дискретного, так и против континуального понимания множественности (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 175). (прим. перев.)

** Полноценный метафизический атомизм не отрицает связи между вещами и явлениями, а отрицает её природный характер, считая непосредственным и единственным источником этой связи исключительно Бога, Который осуществляет эту связь в проявлении Своей воли непосредственно в отношении каждой вещи и явления. Ярким примером такой метафизической картины является атомизм калама, игнорирование которого Геноном удивительно. (прим. перев.)

*** Дискретная онтология вовсе не подразумевает отсутствие движения (т.е. изменений), а только описывает движение в своеобразных терминах изотахии, кекинемы и реновации (см.: А.Н. Вяльцев, указ. соч., с. 14-59). Аргументы Зенона показывают несовместимость идеи движения с континуальностью и с "математическим" атомизмом, т.е. с дискретностью в математическом "точечном" смысле, из чего проистекает большая логическая приемлемость дискретных представлений о движении (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 196-197). (прим. перев.)

Например, рассмотрим следующую апорию: движущийся объект никогда не сможет переместиться из одного положения в другое, поскольку между двумя положениями всегда существует бесконечное множество других положений (какими бы близкими они ни были), которые нужно последовательно пройти в ходе движения, и, какое бы время ни было затрачено на их прохождение, эта бесконечность никогда не может быть исчерпана*. Конечно, здесь речь не о бесконечности, как обычно выражаются, ибо это слово не может здесь иметь реального значения; но также неверно и то, что на каждом интервале можно брать неопределённое количество положений для движущегося объекта, поскольку они не могут быть исчерпаны аналитически, что подразумевало бы занятие каждого положения по очереди, как по очереди берутся члены дискретной последовательности. Но ошибочным здесь является само представление о движении, ибо оно сводится, коротко говоря, к рассмотрению континуального как составленного из точек или из конечных, неделимых элементов (как в представлении о составленности тела из атомов); и это равнозначно утверждению, что в действительности не существует континуальности (непрерывности), ибо рассматривать ли точки или атомы, эти конечные элементы могут быть только дискретными; кроме того, несомненно то, что без континуальности не было бы возможно движение, и это всё, что данная апория действительно доказывает**. То же самое касается апории о стреле, которая летит и тем не менее покоится***, поскольку в каждое мгновение можно видеть только отдельное её положение, что равнозначно утверждению, что каждое положение можно считать постоянным и определённым, и что последовательные положения, таким образом, образуют нечто вроде дискретной группы. Также следует заметить, что неверно, что движущийся объект всегда может быть виден как занимающий определённое положение; напротив, если движение достаточно быстрое, объект не будет виден отчётливо, а будет виден только след его непрерывного перемещения; так, например, если быстро вращается горящая головня, будет видна не сама головня, а огненный круг****; вместе с тем, неважно, объяснять ли это стойкостью зрительного восприятия, как объясняют физиологи, или иным способом, ибо не менее очевидно, что в таких случаях непрерывность движения схватывается как бы непосредственно и ощутимым образом. Более того, употреблять выражение "в каждое мгновение" при формулировке таких аргументов значит подразумевать, что время сложено из последовательности неделимых моментов, каждому из которых соответствует определённое положение объекта; но в действительности непрерывность времени состоит из мгновений не в большей степени, чем непрерывность пространства из точек, а, как мы уже указывали, возможность движения предполагает единство или, скорее, сочетание как временной, так и пространственной непрерывности.

* Речь, очевидно, об апории о несуществовании множественных "мест". См.: А.В. Смирнов. Соизмеримы ли основания рациональности в разных философских традициях? (Сравнительное исследование зеноновских апорий и учений раннего калама). // Сравнительная философия. Москва: Изд. фирма "Вост. лит-ра" РАН, 2000. (//Вопросы философии. 1999, №3). (прим. перев.)

** Генон, по сути, отказывается от рассмотрения апории, вместо этого априори постулируя континуальность и уравнивая её с движением, что, по сути, равнозначно выбрасыванию из проблемы понятия предела – в то время как понятие предела было центральным в апориях Зенона (см.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 187). К тому же сам Генон в конце данной главы признаёт, что его "континуальное" движение невозможно, а признание границ (начала и конца) движения говорит о недостаточности "континуальности" для объяснения движения.

Схожим образом – путём априорного постулирования движения – Зенона критиковал Аристотель, однако ему не удалось окончательно разрешить апории Зенона. Проблемы, поднятые Зеноном, гораздо глубже поверхностного толкования Генона и затрагивают, прежде всего, схоластическую проблему "forma fluens" и "fluxus formae" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 144 и след.; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 180-181), т.е. проблему собственно дефиниции движения, связанную с критерием наблюдаемости и вопросом истинности или обманчивости чувственных данных. Довод Генона (вывод о "реальности" непрерывности на основе априорного постулирования движения) абсолютно неубедителен, как показывают хотя бы приведённые далее примеры с оптическими иллюзиями, которые (как и многие похожие примеры) неустанно приводили финитисты во все времена. (прим. перев.)

*** Речь об апории "Стрела" (см.: Прерывное и непрерывное, с. 16; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 177-180).

**** Этот пример Уиклиф использовал для доказательства иллюзорности континуума, вызванной обманчивыми чувственными восприятиями (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 104). Способ объяснения таких явлений как раз фундаментально важен, ибо от него зависит, считать ли данные чувств адекватно отражающими реальность (как у континуалистов) или иллюзорными (как у финитистов). См.: там же, с. 93-94, 103-104; Прерывное и непрерывное, с. 33-36. (прим. перев.)

Также в одной из апорий утверждается, что для преодоления заданного расстояния сначала необходимо преодолеть половину этого расстояния, затем половину оставшейся половины, затем половину этого остатка и так далее неопределённое время1, так что придётся столкнуться с неопределённостью, которая, при таком рассмотрении, является поистине неисчерпаемой*. Другая похожая апория заключается в следующем: если предполагать, что два человека разделены некоторым расстоянием, тогда один из них, перемещаясь быстрее другого, никогда не сможет нагнать другого, ибо, когда он достигает того положения, в котором находился второй, тот будет находиться в другом положении, удалённом от первого на расстояние, меньше изначального; когда первый достигает этого положения, другой находится уже в третьем положении, удалённого от второго на ещё меньшее расстояние, и так далее неопределённое время, так что, несмотря на уменьшение расстояния между ними, оно всё же никогда не станет нулевым. Сущность проблемы этих двух апорий, как и предыдущей, в том, что они предполагают, что для достижения некоторого конечного пункта должны быть раздельно и последовательно пройдены все промежуточные положения. Можно прийти к одному из следующих заключений: либо рассматриваемое движение действительно является непрерывным и поэтому не может быть разбито таким образом, поскольку континуальное не имеет неразложимых элементов; либо движение составлено или, по крайней мере, может считаться составленным из дискретной последовательности интервалов, каждый из которых имеет определённую величину, как в случае шагов идущего человека2, в случае чего допущение этих интервалов будет, очевидно, исключать необходимость прохождения всех различных промежуточных положений, которые не нужно будет проходить столь многими отдельными шагами. Кроме того, в первом случае, который представляет собой случай непрерывного варьирования, конечный пункт, который по определению подразумевается постоянным, не может быть достигнут в пределах самого варьирования, и тот факт, что он в действительности достигается, требует введения понятия качественной разнородности, которая на этот раз действительно представляет собой подлинную дискретность и которая представлена здесь в переходе от состояния движения к состоянию покоя; это ведёт нас к вопросу "предельного перехода", истинный смысл которого ещё необходимо прояснить.

1 Это соответствует последовательным членам неопределённого ряда 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2, который Лейбниц использовал в качестве примера в одном из приведённых выше отрывков.

* Речь об апориях "Дихотомия" и (далее) "Ахиллес" (см.: Прерывное и непрерывное, с. 16; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 185-197). (прим. перев.)

2 В действительности движения, составляющие процесс его ходьбы, на самом деле непрерывны, как и всякие другие движения, а прерывную последовательность образуют только точки его касания с землёй, так что шаги отмечают определённые интервалы, на которые может быть разбито преодолённое расстояние, при том что не происходит касания земли в промежуточных точках.

Глава 24.

Истинное понимание "предельного перехода".

Рассмотрение "предельного перехода", как мы отмечали ранее, необходимо если не для практических целей метода бесконечно малых, то, по крайней мере, для его теоретического обоснования, и именно это обоснование интересует нас в рамках настоящего исследования, поскольку обычные практические правила вычислений, возникающие как бы "эмпирическим" путём без понимания их причин и основ, очевидно, не имеют никакого интереса с нашей точки зрения. Несомненно, для завершения вычислений и даже для доведения их до конца нет необходимости рассматривать вопрос, достигает ли переменная своего предела или как она его достигает; тем не менее если она не достигает своего предела, такое исчисление будет только обычным методом приближений. Правда, здесь имеет место неопределённое приближение, поскольку сама природа бесконечно малых величин позволяет свести погрешность к сколь угодно малой – однако же без полного её устранения, поскольку, несмотря на неопределённое убывание, эти бесконечно малые величины никогда не обращаются в ничто. Пожалуй, можно сказать, что с практической точки зрения такой метод равнозначен совершенно строгому исчислению; но, помимо того что не это нас интересует, такая точка зрения не даёт ответа на вопрос: имеет ли смысл само понятие неопределённого приближения, если в плане искомых результатов рассматриваются не переменные, а постоянные и находимые величины? При таких условиях при рассмотрении результатов предстаёт следующая альтернатива: либо предел не достигается, и тогда исчисление бесконечно малых является всего лишь наименее грубым из методов приближения; либо предел достигается, и тогда рассматриваемый метод является действительно строгим. Но мы уже видели, что предел, по самому его определению, не может быть достигнут переменной; как же тогда можно говорить, что он тем не менее достигается? Это может быть строго осуществлено не в ходе вычислений, а в результатах вычислений, поскольку в них должны фигурировать только постоянные и находимые величины, как сам предел – но не переменные; следовательно, единственным подлинным обоснованием строгости исчисления бесконечно малых является, как мы уже указывали, различие между переменными и постоянными величинами, являющееся сугубо качественным различием.

Итак, повторим снова: предел не может быть достигнут в рамках некоторого варьирования и в качестве члена этого варьирования; он не является конечным значением, которое принимает переменная, и сама идея непрерывного варьирования, заканчивающегося неким "конечным значением" или "конечным состоянием", была бы такой же невразумительной и противоречивой, как и идея неопределённой последовательности, заканчивающейся неким "конечным членом", или идея деления континуума, заканчивающегося "конечными элементами". Поэтому предел не является частью ряда последовательных значений переменной, но находится вне этого ряда, и поэтому, как мы сказали, "переход к пределу" в принципе подразумевает некоторую дискретность. Если бы это было не так, мы столкнулись бы с неопределённостью, которая могла бы быть исчерпана аналитически, а это невозможно. Здесь установленное нами ранее в этом отношении различие приобретает свой полный смысл, ибо это один из тех случаев, в которых рассматривается возможность достижения пределов некоторой данной неопределённой последовательности (согласно употреблённому нами ранее выражению); поэтому то же самое слово "предел", не без оснований, появляется снова, но в другом, более узком смысле, в конкретном случае, который мы сейчас рассмотрим. Предел переменной должен поистине ограничивать, в общем смысле этого слова, неопределённость состояний или возможных изменений, заключающихся в определении данной переменной; и именно по этой причине он с необходимостью должен находиться вне того, что он ограничивает. Не может быть речи об исчерпывании этой неопределённости в ходе собственно варьирования, составляющего эту неопределённость; в действительности, это вопрос выхода за пределы области этой переменности, не содержащей собственный предел, и этот результат достигается не аналитически и пошагово, но синтетически и разом, как бы "внезапным" образом, и соответствует дискретности перехода от переменным к постоянным величинам1.

1 Этот "внезапный" или "мгновенный" характер можно сравнить (используя аналогию с природными явлениями) с приведённым выше примером разрыва верёвки: сам разрыв представляет собой предел, а именно предел растяжения, но он никоим образом не сравним с растяжением, какова бы ни была степень растяжения.

Пределы в принципе принадлежат области постоянных величин; поэтому "переход к пределу" логически требует одновременного рассмотрения двух различных и как бы наложенных друг на друга модальностей, существующих внутри количества; он представляет собой не что иное, как переход в высшую модальность, в которой то, что в низшей модальности существует в состоянии простой тенденции, полностью реализуется; используя терминологию Аристотеля, это переход от потенциальности к актуальности* – что, несомненно, не имеет ничего общего с простым "уравниванием погрешностей", о котором говорил Карно. Математическое понятие предела по самому своему определению подразумевает характер стабильности и равновесия, которым обладают неизменные и определённые объекты, и которым, очевидно, не могут обладать величины, рассматриваемые как находящиеся в низшей из этих двух модальностей, величины в принципе переменные; поэтому предел никогда не может быть достигнут постепенно, но только непосредственно переходом из одной модальности в другую, и только такой переход позволяет миновать все промежуточные стадии, поскольку он синтетически включает в себя и объемлет всю их неопределённость; таким образом то, что было и могло быть исключительно тенденцией в рамках переменной, утверждается и фиксируется в реальном определённом результате. В ином случае понятие "перехода к пределу" всегда будет представлять собой только чистейшую нелогичность, ибо очевидно, что при нахождении внутри области переменных, невозможно обрести постоянство, присущее пределам, поскольку величина, ранее рассматривавшаяся как переменная, должна как раз утратить свой преходящий и контингентный характер. Состояние переменных величин, в самом деле, представляет собой в высшей степени преходящее и как бы несовершенное состояние, поскольку оно является только выражением "становления", как обстоит дело (как мы показали) и с сущностью самого понятия неопределённости, которое, вместе с тем, тесно связано с состоянием переменности. Таким образом, вычисления будут только тогда совершенными или поистине завершёнными, когда они дают результаты, в которых нет ничего переменного или неопределённого, но есть только постоянные и находимые величины; и мы уже показали, как это соображение может быть применено, посредством аналогического переложения, к областям, находящимся за пределами количественного порядка, – в которых он будет иметь не более чем символическое значение – и даже к областям, прямо касающимся метафизической "реализации" существа.

* Схема Генона скорее обнаруживает сходство с каламитской и суфийской концепцией "выявления скрытого", которая, в отличие от аристотелевской концепции потенциальности и актуальности, имеет отношение к познанию, а не к бытию (см.: А.В. Смирнов. Явное. // Новая философская энциклопедия. т. 4. Москва, 2010). (прим. перев.)

Заключение.

Излишне подчёркивать ту важность, которую соображения, изложенные на страницах данного исследования, имеют с чисто математической точки зрения, поскольку они содержат решение всех проблем, возникающих в связи с методом бесконечно малых, как в отношении его смысла, так и его строгости. Необходимым и достаточным условием для нахождения такого решения является не что иное, как строгое применение истинных метафизических принципов, но именно относительно этих принципов современные математики, как и все иные профанные учёные, пребывают в полнейшем неведении. В конечном итоге, именно это игнорирование принципов является единственной причиной столь многих дебатов, которые при таких обстоятельствах могут вестись неопределённо долго и так и не прийти к какому-либо серьёзному результату, но только напротив ещё более запутывать проблему и множить недоразумения, наглядным примером чему служит спор между "финитистами" и "инфинитистами". Тем не менее все такие дебаты прекратились бы весьма быстро, если бы прежде всего было ясно изложено истинное понятие метафизического Бесконечного и фундаментальное различие между Бесконечным и неопределённым. По этому пункту сам Лейбниц (которому, в отличие от учёных позднейшего времени, можно поставить в заслугу хотя бы искренность при рассмотрении конкретных вопросов) слишком часто позволял себе высказывания, которые едва ли можно отнести к метафизическому уровню и которые даже иногда были такими же явно анти-метафизическими, как и заурядные умопостроения наиболее модернистских философов; таким образом, опять-таки именно то самое отсутствие принципиального основания не позволяло ему дать должный ответ его противникам удовлетворительным и как бы окончательным образом, что открыло путь всем последующим дискуссиям. Определённо, можно вместе с Карно сказать, что "если у Лейбница можно усмотреть ошибки, то единственно в том плане, что он вызывал сомнения относительно точности своего анализа в той мере, в какой эти сомнения имелись у него самого"1; но даже если таких сомнений не было, Лейбниц тем не менее был неспособен со всей строгостью продемонстрировать точность своего метода, поскольку его концепция континуальности, которая, несомненно, не является ни метафизической, ни логичной, не позволяла ему произвести необходимые различия и, соответственно, сформулировать точное понятие предела, которое, как мы уже показали, имеет первостепенную значимость для обоснования метода бесконечно малых.

Из всего этого можно видеть, какое значение внимание к метафизическим принципам может иметь даже для некоторой специализированной науки, взятой самой по себе, даже если мы не намереваемся в целях обоснования этой науки выходить за пределы той относительной и контингентной области, непосредственно к которой эти принципы применяются. Конечно же, это остаётся полностью непонятным современным учёным, которые охотно хвалятся тем, что с помощью своей профанной концепции науки они сделали науку независимой от метафизики, а также от богословия2, в то время как на самом деле они тем самым только лишили науку всякой реальной ценности в плане знания. Вместе с тем, если наступает осознание необходимости снова соединить науку с областью метафизических принципов, само собой разумеется, нет оснований останавливаться на этом, и весьма естественно произойдёт возвращение к той традиционной концепции, согласно с которой некоторая частная наука, что бы она собой ни представляла, сама по себе имеет меньшее значение, чем возможность использования её в качестве "вспомогательного средства" для перехода к знанию более высокого порядка3. Наше намерение в рамках данной работы состояло в том, чтобы дать в порядке наглядного примера некоторое представление о том, что возможно сделать, по крайней мере, в некоторых случаях, для возвращения науке, искалеченной и искажённой профаническими концепциями, её истинного значения и объёма, как с точки зрения относительного знания, представляемого ею непосредственно, так и с точки зрения высшего знания, к которому она может вести путём аналогического переложения. В этом последнем отношении мы имели возможность уяснить, в особенности, что может быть извлечено из таких понятий, как интегрирование и "предельный переход". Вместе с тем, следует отметить, что математика в большей степени, чем какая-либо наука, предлагает особенно пригодный символизм для выражения метафизических истин, в той степени, в какой они выразимы, что известно читателям, знакомыми с некоторыми другими нашими работами. Поэтому математический символизм так часто используется, как в общем с традиционной точки зрения, так и в частности с инициатической точки зрения4. Но конечно, само собой разумеется, что для достижения указанных целей прежде всего необходимо очистить науки от различных ошибок и недоразумений, привнесённых ложными взглядами деятелей модерна, и мы будем рады, если настоящая работа будет способна хоть в некоторой степени поспособствовать этой цели.

1 R?flexions sur la M?taphysique du Calcul infinit?simal, с. 33.

2 Однажды нам повстречался современный "учёный", который высказывал своё негодование по поводу того факта, что в Средние века, например, о Троице говорили в связи с геометрией треугольника; вероятно, он не подозревал, что это же имеет место сегодня в символизме "компаньонажей".

3 Примеры по этой теме даны в: Эзотеризм Данте, гл. 2, где речь идёт об эзотерических и инициатических аспектах "свободных искусств" Средних веков.

4 По вопросу причин особенного значения математического символизма, как числового, так и геометрического, отсылаем к нашей книге: Царство количества и знамения времени.

*      *      *

• Реклама на сайте

Наш сайт является помещением библиотеки. На основании Федерального закона Российской федерации "Об авторском и смежных правах" (в ред. Федеральных законов от 19.07.1995 N 110-ФЗ, от 20.07.2004 N 72-ФЗ) копирование, сохранение на жестком диске или иной способ сохранения произведений размещенных на данной библиотеке категорически запрешен. Все материалы представлены исключительно в ознакомительных целях.

Copyright © UniversalInternetLibrary.ru - читать книги бесплатно